Subgroups — #205169

Order 512.

1420 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9734	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9732	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#135	—	2	1	no	—
10	C₂²×#135	—	2	1	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	#3147	—	2	4	no	—
13	#3147	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#495	—	2	1	no	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1988	C₂²	1	4	yes	—
25	#1982	C₂²	1	4	yes	—
26	#1874	—	2	4	no	—
27	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#102	—	2	4	no	—
32	C₂×#336	—	2	1	no	—
33	#1564	—	2	4	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
36	#1540	—	2	8	no	—
37	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	2	8	no	—
42	C₂×#135	—	4	4	no	—
43	C₂×#135	—	4	4	no	—
44	C₂×#135	—	4	4	no	—
45	C₂×#135	—	4	4	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	#532	—	2	4	no	—
58	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#495	—	2	8	no	—
70	#495	—	2	8	no	—
71	#494	—	2	2	no	—
72	#494	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	#431	—	2	4	no	—
78	#431	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#102	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#95	—	2	1	no	—
101	#340	—	2	8	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#335	—	2	4	no	—
105	#334	—	2	4	no	—
106	#332	—	2	8	no	—
107	#331	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂×#41	—	4	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
124	#135	—	4	32	no	—
125	#135	—	4	32	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	2	4	no	—
139	C₂×D₈	—	2	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	#124	—	2	8	no	—
168	#124	—	4	4	no	—
169	#121	—	2	8	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#121	—	4	4	no	—
172	#121	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	8	no	—
174	C₄×D₄	—	2	8	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#102	—	4	16	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
203	C₄×C₈	—	4	4	no	—
204	C₄×C₈	—	4	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	4	no	—
206	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	4	16	no	—
217	#41	—	4	16	no	—
218	#41	—	8	8	no	—
219	#41	—	8	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	4	8	no	—
268	Q₁₆	—	4	8	no	—
269	SD₁₆	—	4	16	no	—
270	SD₁₆	—	4	16	no	—
271	D₈	—	4	8	no	—
272	D₈	—	4	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	8	no	—
284	C₂×C₈	#102	1	16	yes	complemented
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	#135	1	8	yes	complemented
300	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	#121	1	2	yes	—
309	C₄²	#124	1	2	yes	—
310	C₄²	#127	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	4	no	—
321	C₂³	—	8	4	no	—
322	C₂³	#390	1	2	yes	—
323	C₂³	#459	1	2	yes	—
324	C₂³	#460	1	2	yes	—
325	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	4	4	no	—
328	Q₈	—	8	2	no	—
329	Q₈	—	8	2	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	16	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	16	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	16	no	—
354	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	4	4	no	—
377	C₈	—	8	4	no	—
378	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
379	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	16	4	no	—
388	C₂²	—	16	4	no	—
389	C₂²	#1982	1	4	yes	—
390	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3050	1	2	yes	—
394	C₂²	#3067	1	2	yes	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	#1982	1	4	yes	—
402	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
404	C₄	C₄×#135	1	2	yes	—
405	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3147	1	2	yes	—
408	C₂	—	2	4	no	—
409	C₂	—	16	4	no	—
410	C₂	#19101	1	2	yes	—
411	C₂	#19114	1	2	yes	—
412	C₂	#21224	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#21248	1	1	yes	characteristic
414	C₂	C₂×#1982	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21386	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. C₂×#1564	C₂	semidirect
5. C₂×#1540	C₂	semidirect
6. #9734	C₂	semidirect
7. #9733	C₂	semidirect
8. #9732	C₂	semidirect
13. #3147	C₄	semidirect
72. #494	C₂×C₄	semidirect
74. #493	C₂×C₄	semidirect
76. #492	C₂×C₄	semidirect
284. C₂×C₈	#102	semidirect
299. C₄⋊C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#21386	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×#1564	2
C₂×#1540	2
#9734	2
#9733	2
#9732	2