Subgroups — #20525

Order 256.

677 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 192 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1753	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1752	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
14	#407	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₄	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
43	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	#97	—	4	4	no	—
63	C₄×C₈	—	4	4	no	—
64	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂⁴	—	2	4	no	—
68	C₂⁴	—	2	4	no	—
69	C₂⁴	—	4	2	no	—
70	C₂⁴	C₄²	1	4	yes	—
71	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
80	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	M₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂×C₈	—	4	8	no	—
106	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
109	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
112	C₄²	—	2	4	no	—
113	C₄²	—	2	4	no	—
114	C₄²	—	4	4	no	—
115	C₂³	—	2	2	no	—
116	C₂³	—	2	2	no	—
117	C₂³	—	2	2	no	—
118	C₂³	—	2	2	no	—
119	C₂³	—	2	2	no	—
120	C₂³	—	2	2	no	—
121	C₂³	—	2	2	no	—
122	C₂³	—	2	8	no	—
123	C₂³	—	2	8	no	—
124	C₂³	—	4	4	no	—
125	C₂³	—	4	16	no	—
126	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
128	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
129	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
130	C₂³	#131	1	4	yes	—
131	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
154	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
157	C₈	—	2	4	no	—
158	C₈	—	2	4	no	—
159	C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²	—	2	2	no	—
161	C₂²	—	2	2	no	—
162	C₂²	—	2	8	no	—
163	C₂²	—	2	8	no	—
164	C₂²	—	2	2	no	—
165	C₂²	—	2	2	no	—
166	C₂²	—	2	2	no	—
167	C₂²	—	2	2	no	—
168	C₂²	—	2	2	no	—
169	C₂²	—	4	16	no	—
170	C₂²	—	4	4	no	—
171	C₂²	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
172	C₂²	#405	1	4	yes	—
173	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
174	C₂²	#518	1	2	yes	—
175	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
176	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
177	C₄	—	2	8	no	—
178	C₄	—	2	2	no	—
179	C₄	—	2	2	no	—
180	C₄	—	2	2	no	—
181	C₄	—	4	4	no	—
182	C₄	#518	1	2	yes	—
183	C₄	#518	1	2	yes	—
184	C₂	—	2	4	no	—
185	C₂	—	2	4	no	—
186	C₂	—	4	2	no	—
187	C₂	#2273	1	1	yes	characteristic
188	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
189	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
190	C₂	#2974	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1753	C₂	semidirect
5. #1752	C₂	semidirect
6. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #1749	C₂	semidirect
8. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
14. #407	C₄	semidirect
15. C₂×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
21. C₂×#97	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
29. #336	C₂²	semidirect
30. #336	C₂²	semidirect
43. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
45. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
61. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
111. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#407	2
C₂²×C₂²⋊C₈	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1753	2
#1752	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
#1749	2
C₄×C₂²⋊C₈	2