Subgroups — #205309

Order 512.

1430 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9744	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9732	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	—	2	4	no	—
15	C₂×#492	—	2	1	no	—
16	C₂×#492	—	2	1	no	—
17	C₂×#492	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1993	—	2	2	no	—
26	#1988	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1982	C₂²	1	4	yes	—
28	#1961	—	2	2	no	—
29	#1824	—	2	2	no	—
30	#1786	—	2	2	no	—
31	#1770	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1752	—	2	1	no	—
34	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
35	#1746	—	2	1	no	—
36	#1726	—	2	1	no	—
37	#1568	—	2	4	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1556	—	2	4	no	—
41	#1555	—	2	4	no	—
42	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
55	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	1	no	—
68	C₂×#127	—	2	2	no	—
69	C₂×#127	—	2	1	no	—
70	C₂×#127	—	2	1	no	—
71	C₂×#127	—	2	2	no	—
72	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#492	—	2	8	no	—
78	#492	—	2	8	no	—
79	#492	—	2	4	no	—
80	#492	—	2	4	no	—
81	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#432	—	2	2	no	—
84	#432	—	2	2	no	—
85	#432	—	2	2	no	—
86	#432	—	2	2	no	—
87	#432	—	2	2	no	—
88	#432	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#102	—	2	8	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×#97	—	2	1	no	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#383	—	2	1	no	—
108	#382	D₄	1	2	yes	—
109	#381	—	2	1	no	—
110	#380	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
113	#376	—	2	1	no	—
114	#340	—	2	8	no	—
115	#336	—	2	2	no	—
116	#336	—	2	2	no	—
117	#335	—	2	4	no	—
118	#334	—	2	4	no	—
119	#332	—	2	8	no	—
120	#331	—	2	8	no	—
121	C₂⁵	—	4	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	#127	—	2	4	no	—
180	#127	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#127	—	2	2	no	—
183	#127	—	2	2	no	—
184	#127	—	2	2	no	—
185	#127	—	4	2	no	—
186	#127	—	4	2	no	—
187	#127	—	4	2	no	—
188	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	#102	—	8	8	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
218	#97	—	2	4	no	—
219	#97	—	4	4	no	—
220	#97	—	4	2	no	—
221	#97	—	4	2	no	—
222	C₄×C₈	—	4	4	no	—
223	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	2	no	—
231	#95	—	2	2	no	—
232	#95	—	2	2	no	—
233	C₂⁴	—	4	2	no	—
234	C₂⁴	—	4	4	no	—
235	C₂⁴	—	8	4	no	—
236	C₂⁴	—	8	4	no	—
237	C₂⁴	—	8	4	no	—
238	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	8	8	no	—
263	C₂×D₄	—	8	8	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×D₄	—	8	4	no	—
270	C₂×D₄	—	8	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
291	SD₁₆	—	4	16	no	—
292	SD₁₆	—	4	16	no	—
293	SD₁₆	—	4	16	no	—
294	SD₁₆	—	4	16	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	8	no	—
298	C₂×C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	4	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
311	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	#121	1	2	yes	—
326	C₄²	#124	1	2	yes	—
327	C₄²	#127	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	—	8	4	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	16	16	no	—
342	C₂³	#390	1	2	yes	—
343	C₂³	#471	1	4	yes	—
344	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	8	8	no	—
348	Q₈	—	8	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	8	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	8	no	—
354	D₄	—	8	8	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	8	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	2	2	no	—
390	C₈	—	4	4	no	—
391	C₈	—	8	2	no	—
392	C₈	—	8	2	no	—
393	C₈	#418	1	4	yes	—
394	C₈	#418	1	4	yes	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	8	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	16	16	no	—
402	C₂²	—	16	8	no	—
403	C₂²	#1977	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3038	1	2	yes	—
406	C₂²	#3057	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2949	1	2	yes	—
418	C₄	#3038	1	2	yes	—
419	C₄	#3154	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	16	4	no	—
422	C₂	#19352	1	4	yes	—
423	C₂	#21231	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#1977	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21260	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21841	C₂	semidirect
4. #20476	C₂	semidirect
5. C₂×#1568	C₂	semidirect
6. C₂×#1556	C₂	semidirect
8. #9744	C₂	semidirect
9. #9732	C₂	semidirect
17. C₂×#492	C₄	semidirect
26. #1988	C₂²	semidirect
31. #1770	C₂²	semidirect
32. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. C₂×#335	C₂²	semidirect
39. C₂×#334	C₂²	semidirect
42. C₂×#332	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
#21841	2
#21810	2
#20476	2
C₂×#1568	2
C₂×#1556	2
C₂×#1555	2
#9744	2
#9732	2