Subgroups — #205349

Order 512.

1268 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20543	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1570	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9735	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9732	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3208	—	2	4	no	—
13	#3208	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#460	—	2	2	no	—
17	C₂×#450	—	2	2	no	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#418	—	2	2	no	—
23	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1989	—	2	2	no	—
25	#1988	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1987	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#1982	—	2	2	no	—
28	#1982	C₂²	1	4	yes	—
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
31	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
32	#1735	—	2	2	no	—
33	#1570	—	2	4	no	—
34	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1550	—	2	4	no	—
36	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#331	—	2	4	no	—
39	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#125	—	2	1	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#492	—	2	4	no	—
70	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#486	—	2	4	no	—
72	#486	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#460	—	2	16	no	—
74	#450	—	2	16	no	—
75	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#431	D₄	1	4	yes	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	#418	—	4	8	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	8	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
100	#376	—	2	1	no	—
101	C₄³	—	2	1	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#334	—	2	8	no	—
106	#333	—	2	4	no	—
107	#332	—	2	4	no	—
108	#331	—	2	8	no	—
109	C₂⁵	—	4	1	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	#127	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	4	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	4	2	no	—
160	#127	—	4	2	no	—
161	#127	—	4	2	no	—
162	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#125	—	2	4	no	—
164	#125	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	4	2	no	—
176	#117	SD₁₆	1	8	yes	complemented
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	#102	—	2	16	no	—
209	#102	—	4	16	no	—
210	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
211	C₄×C₈	—	8	4	no	—
212	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	#95	—	2	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	8	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	4	no	—
220	C₂⁴	—	8	4	no	—
221	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	16	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂×D₄	—	8	8	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	—	8	4	no	—
253	C₂×D₄	—	8	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	SD₁₆	—	8	16	no	—
275	M₁₆	—	8	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	8	4	no	—
285	C₂×C₈	—	8	4	no	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	2	8	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	—	8	2	no	—
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	#121	1	2	yes	—
310	C₄²	#124	1	2	yes	—
311	C₄²	#127	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	8	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	—	8	4	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	—	8	4	no	—
325	C₂³	—	16	16	no	—
326	C₂³	#390	1	2	yes	—
327	C₂³	#465	1	4	yes	—
328	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	Q₈	—	4	4	no	—
330	Q₈	—	8	2	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	1	no	—
333	Q₈	—	8	1	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	2	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
364	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	—	8	2	no	—
380	C₈	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	8	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	16	16	no	—
388	C₂²	—	16	8	no	—
389	C₂²	#1968	1	4	yes	—
390	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3045	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
393	C₂²	#3068	1	2	yes	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	4	8	no	—
399	C₄	—	8	2	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	#1968	1	4	yes	—
402	C₄	#2897	1	2	yes	—
403	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
404	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3043	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	2	4	no	—
409	C₂	—	16	4	no	—
410	C₂	#19409	1	4	yes	—
411	C₂	C₂×#1968	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#21249	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#21263	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21311	C₂	semidirect
4. #20543	C₂	semidirect
5. C₂×#1570	C₂	semidirect
6. C₂×#1550	C₂	semidirect
8. #9735	C₂	semidirect
9. #9732	C₂	semidirect
13. #3208	C₄	semidirect
25. #1988	C₂²	semidirect
26. #1987	C₂²	semidirect
29. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂×#334	C₂²	semidirect
36. C₂×#333	C₂²	semidirect
37. C₂×#332	C₂²	semidirect
176. #117	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3208	2
#21311	2
#21260	2
#20543	2
C₂×#1570	2
C₂×#1550	2
C₂²×#331	2
#9735	2
#9732	2