Subgroups — #20535

Order 256.

519 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 166 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1771	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1770	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1749	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#432	C₄	1	8	yes	complemented
13	#431	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₄	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#97	—	4	4	no	—
58	#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₄×C₈	—	4	4	no	—
60	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
93	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
96	C₄²	—	2	4	no	—
97	C₄²	—	2	4	no	—
98	C₄²	—	4	4	no	—
99	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
100	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
101	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³	—	2	1	no	—
106	C₂³	—	2	1	no	—
107	C₂³	—	2	2	no	—
108	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
109	C₂³	#131	1	4	yes	—
110	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄	—	4	16	no	—
126	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
129	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
130	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
132	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
133	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
137	C₈	—	2	4	no	—
138	C₈	—	2	8	no	—
139	C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²	—	2	2	no	—
141	C₂²	—	2	4	no	—
142	C₂²	—	2	4	no	—
143	C₂²	—	2	2	no	—
144	C₂²	#405	1	4	yes	—
145	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
146	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
147	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
148	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
149	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
150	C₄	—	2	2	no	—
151	C₄	—	2	2	no	—
152	C₄	—	2	2	no	—
153	C₄	—	2	8	no	—
154	C₄	—	2	2	no	—
155	C₄	—	4	4	no	—
156	C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
157	C₄	#520	1	2	yes	—
158	C₄	#520	1	2	yes	—
159	C₂	—	2	4	no	—
160	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
161	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
162	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
163	C₂	#2974	1	2	yes	—
164	C₂	#2984	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1771	C₂	semidirect
5. #1770	C₂	semidirect
6. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
12. #432	C₄	semidirect
13. #431	C₄	semidirect
52. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
53. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
58. #97	C₂×C₄	semidirect
60. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#432	2
C₂×#431	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
#1771	2
#1770	2
C₈×C₄⋊C₄	2
#1749	2
C₄×C₂²⋊C₈	2