Subgroups — #20543

Order 256.

545 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 138 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#431	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×C₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#376	C₄	1	2	yes	—
23	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
24	#336	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
29	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	#117	C₈	1	16	yes	complemented
33	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₄×C₈	—	4	8	no	—
49	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₈	—	4	8	no	—
72	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
75	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
76	C₄²	—	2	4	no	—
77	C₄²	—	2	4	no	—
78	C₄²	—	4	4	no	—
79	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
80	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
81	C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
82	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³	—	2	2	no	—
87	C₂³	—	2	2	no	—
88	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
89	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
90	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄	—	4	4	no	—
100	C₂×C₄	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
101	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
102	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
103	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
104	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
105	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
106	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
107	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
108	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
109	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
112	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
113	C₈	—	2	8	no	—
114	C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²	—	2	2	no	—
116	C₂²	—	2	8	no	—
117	C₂²	—	2	2	no	—
118	C₂²	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
119	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
120	C₂²	#520	1	2	yes	—
121	C₂²	C₂³×C₈	1	2	yes	—
122	C₂²	#568	1	2	yes	—
123	C₄	—	2	2	no	—
124	C₄	—	2	2	no	—
125	C₄	—	2	16	no	—
126	C₄	—	2	2	no	—
127	C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
128	C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
129	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
130	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
131	C₄	#520	1	2	yes	—
132	C₂	—	2	4	no	—
133	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
134	C₂	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂	#2873	1	1	yes	characteristic
136	C₂	#2988	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
10. #431	C₄	semidirect
11. C₂×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
32. #117	C₈	semidirect
74. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
81. C₄²	C₂×C₈	semidirect
100. C₂×C₄	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₄×#117	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₄×C₄⋊C₈	2
C₈×C₂²⋊C₄	2