Subgroups — #20545

Order 256.

467 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 153 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1770	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1768	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1752	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#431	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#383	C₄	1	2	yes	—
23	#382	C₄	1	2	yes	—
24	#381	C₄	1	2	yes	—
25	#380	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	#376	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
35	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#97	—	4	4	no	—
56	C₄×C₈	—	4	4	no	—
57	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₈	—	4	8	no	—
85	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
91	C₄²	—	2	4	no	—
92	C₄²	—	2	4	no	—
93	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
94	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
95	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³	—	2	2	no	—
100	C₂³	—	2	2	no	—
101	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
102	C₂³	#131	1	4	yes	—
103	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
117	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
118	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
119	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
120	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
122	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
125	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
126	C₈	—	2	4	no	—
127	C₈	—	2	4	no	—
128	C₈	—	2	4	no	—
129	C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²	—	2	2	no	—
131	C₂²	—	2	8	no	—
132	C₂²	—	2	2	no	—
133	C₂²	#405	1	4	yes	—
134	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
135	C₂²	#520	1	2	yes	—
136	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
137	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
138	C₄	—	2	2	no	—
139	C₄	—	2	2	no	—
140	C₄	—	2	2	no	—
141	C₄	—	2	2	no	—
142	C₄	—	4	8	no	—
143	C₄	#405	1	4	yes	—
144	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
145	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
146	C₄	#520	1	2	yes	—
147	C₂	—	2	4	no	—
148	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
149	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
150	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
151	C₂	#2994	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1770	C₂	semidirect
5. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #1768	C₂	semidirect
11. #431	C₄	semidirect
12. C₂×C₄⋊C₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
#2283	2
#1770	2
C₈×C₄⋊C₄	2
#1768	2
#1752	2
C₈×C₂²⋊C₄	2