Subgroups — #20550

Order 256.

497 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 175 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1770	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1767	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1753	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#431	C₄	1	8	yes	complemented
13	#423	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	#376	C₄	1	2	yes	—
28	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
35	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
36	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	#117	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#97	—	4	4	no	—
60	C₄×C₈	—	4	4	no	—
61	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	M₁₆	—	4	8	no	—
85	C₂×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
96	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₄²	—	2	8	no	—
98	C₄²	—	2	8	no	—
99	C₄²	—	2	2	no	—
100	C₄²	—	2	2	no	—
101	C₄²	—	2	2	no	—
102	C₄²	—	2	2	no	—
103	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
104	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
105	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³	—	2	1	no	—
110	C₂³	—	2	1	no	—
111	C₂³	—	2	2	no	—
112	C₂³	—	2	2	no	—
113	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
114	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
136	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
137	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
138	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₈	—	2	8	no	—
145	C₈	—	2	4	no	—
146	C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²	—	2	2	no	—
148	C₂²	—	2	2	no	—
149	C₂²	—	2	2	no	—
150	C₂²	—	4	2	no	—
151	C₂²	—	4	2	no	—
152	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
153	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
154	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
155	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
156	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
157	C₄	—	2	2	no	—
158	C₄	—	2	2	no	—
159	C₄	—	2	8	no	—
160	C₄	—	2	2	no	—
161	C₄	—	4	4	no	—
162	C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
163	C₄	#405	1	4	yes	—
164	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
165	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
166	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
167	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
168	C₂	—	4	2	no	—
169	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
170	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
171	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
172	C₂	#2990	1	2	yes	—
173	C₂	#2991	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1770	C₂	semidirect
5. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #1767	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
12. #431	C₄	semidirect
13. #423	C₄	semidirect
95. C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂×#423	2
C₄×#117	2
#1770	2
C₈×C₄⋊C₄	2
#1767	2
C₄×C₄⋊C₈	2
#1753	2