Subgroups — #205567

Order 512.

1274 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17574	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1517	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#17319	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9760	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#575	—	2	2	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	#3153	—	2	4	no	—
10	#3152	C₄	1	4	yes	complemented
11	#3151	C₄	1	4	yes	complemented
12	#3150	—	2	2	no	—
13	#3147	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1836	—	2	2	no	—
19	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#1736	—	2	2	no	—
21	#1519	—	2	4	no	—
22	#1517	—	2	4	no	—
23	#1517	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#1517	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#1502	—	2	4	no	—
26	C₂×#327	—	2	4	no	—
27	#1452	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1451	—	2	4	no	—
29	C₂²×#41	—	2	2	no	—
30	#575	—	4	8	no	—
31	#575	—	4	8	no	—
32	C₂×#137	—	2	8	no	—
33	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
34	C₂×#135	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
36	#532	—	2	2	no	—
37	#532	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	2	no	—
40	#532	—	2	2	no	—
41	#532	—	2	2	no	—
42	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#532	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#497	—	2	8	no	—
55	#496	—	2	8	no	—
56	#495	—	2	8	no	—
57	#494	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#431	—	2	2	no	—
61	#431	—	2	2	no	—
62	#431	D₄	1	4	yes	—
63	#431	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
66	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	#384	—	2	1	no	—
72	#382	—	2	2	no	—
73	#382	—	2	1	no	—
74	#382	C₂³	1	2	yes	—
75	#382	C₂³	1	2	yes	—
76	#380	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	#340	—	2	8	no	—
80	#327	—	2	16	no	—
81	#327	—	2	16	no	—
82	#322	—	2	8	no	—
83	C₂×#41	—	2	4	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	4	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	—	4	8	no	—
88	C₂×#41	—	4	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	#137	—	4	32	no	—
99	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
100	#135	—	4	16	no	—
101	#135	—	4	16	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×D₈	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	#127	—	2	2	no	—
115	#127	—	2	2	no	—
116	#127	—	2	2	no	—
117	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	4	no	—
120	#124	—	4	2	no	—
121	#124	—	4	2	no	—
122	#121	—	2	4	no	—
123	#121	—	2	4	no	—
124	#121	—	2	4	no	—
125	#121	—	2	4	no	—
126	#121	—	4	2	no	—
127	#121	—	4	2	no	—
128	#121	—	4	2	no	—
129	#121	—	4	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	4	no	—
134	C₄×D₄	—	4	2	no	—
135	C₄×D₄	—	4	2	no	—
136	C₄×D₄	—	4	2	no	—
137	C₄×D₄	—	4	2	no	—
138	#117	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₄×C₈	—	2	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#95	—	2	4	no	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
171	#41	—	4	8	no	—
172	#41	—	4	8	no	—
173	#41	—	4	16	no	—
174	#41	—	8	8	no	—
175	#41	—	8	4	no	—
176	#41	—	8	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	8	4	no	—
190	C₂×D₄	—	8	4	no	—
191	C₂×D₄	—	8	4	no	—
192	C₂×D₄	—	8	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	Q₁₆	—	4	16	no	—
215	SD₁₆	—	4	32	no	—
216	D₈	—	4	16	no	—
217	M₁₆	—	2	16	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	8	4	no	—
222	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
236	C₄²	—	8	2	no	—
237	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₄²	#121	1	2	yes	—
241	C₄²	#121	1	2	yes	—
242	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	8	4	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	#390	1	2	yes	—
253	C₂³	#496	1	2	yes	—
254	C₂³	#496	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	4	8	no	—
257	Q₈	—	8	4	no	—
258	D₄	—	4	8	no	—
259	D₄	—	8	4	no	—
260	D₄	—	8	4	no	—
261	D₄	—	8	4	no	—
262	D₄	—	8	4	no	—
263	D₄	—	8	4	no	—
264	D₄	—	8	4	no	—
265	D₄	—	8	8	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	16	4	no	—
282	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	#490	1	8	yes	—
287	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
295	C₈	—	2	8	no	—
296	C₈	—	4	8	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	8	4	no	—
303	C₂²	—	8	4	no	—
304	C₂²	—	8	4	no	—
305	C₂²	—	16	8	no	—
306	C₂²	#1961	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	8	4	no	—
315	C₄	—	16	2	no	—
316	C₄	—	16	2	no	—
317	C₄	#1961	1	4	yes	—
318	C₄	C₂×#418	1	2	yes	—
319	C₄	C₂×#490	1	2	yes	—
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	1	no	—
322	C₂	—	2	4	no	—
323	C₂	—	16	4	no	—
324	C₂	C₂×#1961	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#21244	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#390
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20765	C₂	semidirect
3. #17574	C₂	semidirect
4. C₂×#1517	C₂	semidirect
5. #17319	C₂	semidirect
6. #9760	C₂	semidirect
10. #3152	C₄	semidirect
11. #3151	C₄	semidirect
19. #1835	C₂²	semidirect
23. #1517	C₂²	semidirect
24. #1517	C₂²	semidirect
27. #1452	C₂²	semidirect
57. #494	C₂×C₄	semidirect
58. #493	C₂×C₄	semidirect
59. #492	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
#20765	2
#17574	2
C₂×#1517	2
#17319	2
#9760	2