Subgroups — #20559

Order 256.

559 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 222 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#435	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#1771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1753	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1745	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#435	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#336	C₂²	1	2	yes	—
36	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#336	C₂²	1	2	yes	—
38	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
46	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
47	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
49	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
50	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₄×D₄	—	2	8	no	—
56	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
64	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
65	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	#97	—	4	2	no	—
78	#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₄×C₈	—	4	2	no	—
80	C₄×C₈	—	4	2	no	—
81	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂×C₈	—	4	8	no	—
121	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
127	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
129	C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
130	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
131	C₄²	—	2	4	no	—
132	C₄²	—	2	4	no	—
133	C₄²	—	2	1	no	—
134	C₄²	—	2	2	no	—
135	C₄²	—	2	2	no	—
136	C₄²	—	2	2	no	—
137	C₄²	—	2	1	no	—
138	C₄²	—	4	2	no	—
139	C₄²	—	4	2	no	—
140	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂³	—	2	1	no	—
142	C₂³	—	2	1	no	—
143	C₂³	—	2	2	no	—
144	C₂³	—	2	1	no	—
145	C₂³	—	2	1	no	—
146	C₂³	—	2	2	no	—
147	C₂³	—	2	2	no	—
148	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
150	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
151	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
152	D₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
179	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₈	—	2	4	no	—
186	C₈	—	2	4	no	—
187	C₈	—	2	4	no	—
188	C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²	—	2	2	no	—
190	C₂²	—	2	4	no	—
191	C₂²	—	2	4	no	—
192	C₂²	—	2	2	no	—
193	C₂²	—	2	2	no	—
194	C₂²	—	2	2	no	—
195	C₂²	—	2	2	no	—
196	C₂²	—	4	2	no	—
197	C₂²	—	4	2	no	—
198	C₂²	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
199	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
201	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
203	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
204	C₄	—	2	2	no	—
205	C₄	—	2	2	no	—
206	C₄	—	2	4	no	—
207	C₄	—	2	4	no	—
208	C₄	—	2	4	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	2	2	no	—
211	C₄	—	4	2	no	—
212	C₄	#518	1	2	yes	—
213	C₄	#520	1	2	yes	—
214	C₂	—	2	4	no	—
215	C₂	—	4	2	no	—
216	C₂	#2275	1	1	yes	characteristic
217	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
218	C₂	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#2974	1	2	yes	—
220	C₂	#2990	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1771	C₂	semidirect
4. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. #1753	C₂	semidirect
6. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #1749	C₂	semidirect
8. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
9. #1745	C₂	semidirect
10. #1728	C₂	semidirect
11. C₂×#336	C₂	semidirect
18. #435	C₄	semidirect
47. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
50. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
74. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
75. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
76. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
78. #97	C₂×C₄	semidirect
130. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#435	2
C₄²×D₄	2
#1771	2
C₄×C₄⋊C₈	2
#1753	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
#1749	2
C₄×C₂²⋊C₈	2
#1745	2
#1728	2
C₂×#336	2