Finite Group Databasebeta

Subgroups — #20609

Order 256.

2061 conjugacy classes of subgroups; only the 303 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 2061 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 303 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#99	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#2308	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#1790	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
6	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
7	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	8	yes	complemented
8	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×#41	—	2	3	no	—
10	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
11	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
14	C₂×#99	—	2	12	no	—
15	C₂×#99	C₂²	1	12	yes	complemented
16	#386	—	2	6	no	—
17	#386	C₂²	1	12	yes	complemented
18	#381	—	2	3	no	—
19	#379	—	2	3	no	—
20	C₂⁵	—	2	1	no	—
21	C₂⁵	D₄	1	3	yes	—
22	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
23	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
24	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
25	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
26	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
27	C₂×#41	—	2	12	no	—
28	C₂×#41	—	2	24	no	—
29	C₂×#41	—	2	24	no	—
30	C₂×#41	—	2	12	no	—
31	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
33	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
34	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
35	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
36	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
37	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
38	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
41	C₂²×D₄	D₄	1	12	yes	—
42	C₂²×D₄	D₄	1	6	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
46	C₂³×C₄	D₄	1	3	yes	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
48	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
54	#99	—	2	24	no	—
55	#95	—	2	12	no	—
56	C₂⁴	—	2	4	no	—
57	C₂⁴	—	2	8	no	—
58	C₂⁴	—	2	3	no	—
59	C₂⁴	—	2	3	no	—
60	C₂⁴	—	2	6	no	—
61	C₂⁴	—	8	2	no	—
62	C₂⁴	—	8	6	no	—
63	C₂⁴	—	8	4	no	—
64	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	12	yes	complemented
65	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂⁴	C₂×D₄	1	6	yes	—
67	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
68	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
69	C₂⁴	C₂×D₄	1	6	yes	—
70	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	#41	—	2	48	no	—
72	#41	—	2	96	no	—
73	#41	—	2	48	no	—
74	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
76	C₂×D₄	—	2	12	no	—
77	C₂×D₄	—	2	24	no	—
78	C₂×D₄	—	2	48	no	—
79	C₂×D₄	—	2	96	no	—
80	C₂×D₄	—	2	24	no	—
81	C₂×D₄	—	2	48	no	—
82	C₂×D₄	—	2	24	no	—
83	C₂×D₄	—	2	12	no	—
84	C₂×D₄	—	2	24	no	—
85	C₂×D₄	—	2	12	no	—
86	C₂×D₄	—	2	24	no	—
87	C₂×D₄	—	2	12	no	—
88	C₂×D₄	—	2	12	no	—
89	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	complemented
90	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
91	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
92	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
99	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
100	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
102	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	complemented
103	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
104	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
105	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
106	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
107	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
108	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
109	C₂³	—	2	16	no	—
110	C₂³	—	2	6	no	—
111	C₂³	—	2	12	no	—
112	C₂³	—	2	6	no	—
113	C₂³	—	2	12	no	—
114	C₂³	—	4	6	no	—
115	C₂³	—	4	2	no	—
116	C₂³	—	4	6	no	—
117	C₂³	—	4	12	no	—
118	C₂³	—	4	12	no	—
119	C₂³	—	8	6	no	—
120	C₂³	—	8	2	no	—
121	C₂³	—	8	6	no	—
122	C₂³	—	8	12	no	—
123	C₂³	—	8	12	no	—
124	C₂³	—	8	16	no	—
125	C₂³	—	8	8	no	—
126	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
127	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
128	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
129	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
130	C₂³	#120	1	3	yes	—
131	C₂³	#120	1	6	yes	—
132	C₂³	#120	1	6	yes	—
133	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
135	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
136	Q₈	—	2	16	no	—
137	D₄	—	2	48	no	—
138	D₄	—	2	24	no	—
139	D₄	—	2	24	no	—
140	D₄	—	2	48	no	—
141	C₂×C₄	—	2	48	no	—
142	C₂×C₄	—	2	6	no	—
143	C₂×C₄	—	2	6	no	—
144	C₂×C₄	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄	—	2	12	no	—
146	C₂×C₄	—	4	12	no	—
147	C₂×C₄	—	4	12	no	—
148	C₂×C₄	—	4	6	no	—
149	C₂×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄	—	8	12	no	—
151	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
152	C₂²	—	2	6	no	—
153	C₂²	—	2	2	no	—
154	C₂²	—	2	6	no	—
155	C₂²	—	2	12	no	—
156	C₂²	—	4	6	no	—
157	C₂²	—	4	6	no	—
158	C₂²	—	4	6	no	—
159	C₂²	—	4	6	no	—
160	C₂²	—	4	1	no	—
161	C₂²	—	4	3	no	—
162	C₂²	—	4	12	no	—
163	C₂²	—	4	24	no	—
164	C₂²	—	4	12	no	—
165	C₂²	—	8	6	no	—
166	C₂²	—	8	12	no	—
167	C₂²	—	8	16	no	—
168	C₂²	#379	1	2	yes	—
169	C₂²	#379	1	6	yes	—
170	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
171	C₂²	C₂×#120	1	3	yes	—
172	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
173	C₄	—	2	12	no	—
174	C₄	—	8	6	no	—
175	C₄	—	8	2	no	—
176	C₂	—	2	3	no	—
177	C₂	—	2	2	no	—
178	C₂	—	2	3	no	—
179	C₂	—	2	6	no	—
180	C₂	—	4	12	no	—
181	C₂	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
182	C₂	#3026	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#120
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#99	C₂	semidirect
3. #2308	C₂	semidirect
4. #1790	C₂	semidirect
7. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
12. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
13. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
15. C₂×#99	C₂²	semidirect
17. #386	C₂²	semidirect
26. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
47. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
53. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
64. C₂⁴	C₂²⋊C₄	semidirect
89. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect
102. C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂²×#99	2
#2308	2
#1790	2