Subgroups — #206113

Order 512.

1350 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3169	—	2	4	no	—
11	#3169	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#466	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#107	—	2	2	no	—
19	C₂×#417	—	2	4	no	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	#1990	C₂²	1	4	yes	—
24	#1959	—	2	4	no	—
25	#1957	C₂²	1	4	yes	—
26	#1957	C₂²	1	4	yes	—
27	#1956	C₂²	1	4	yes	—
28	#1874	—	2	4	no	—
29	#1845	—	2	2	no	—
30	#1845	C₂²	1	2	yes	—
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1802	—	2	4	no	—
33	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	#532	—	2	4	no	—
42	#532	—	2	4	no	—
43	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	—	2	2	no	—
56	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	#493	—	2	2	no	—
58	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	#486	—	2	4	no	—
60	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#466	—	2	16	no	—
62	C₄×D₈	—	2	16	no	—
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	—	2	4	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	—	4	8	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	#417	—	4	16	no	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	2	8	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#384	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	#384	—	2	2	no	—
89	#384	C₂³	1	4	yes	—
90	#340	—	2	8	no	—
91	#322	—	2	4	no	—
92	C₈²	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	4	8	no	—
96	C₂×#41	—	4	8	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₈	—	2	8	no	—
108	C₂×D₈	—	4	4	no	—
109	C₂×D₈	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	D₈	1	8	yes	complemented
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	—	2	2	no	—
126	#127	—	2	2	no	—
127	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#124	—	2	8	no	—
129	#124	—	4	4	no	—
130	#121	—	2	8	no	—
131	#121	—	2	8	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	#121	—	4	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	8	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#107	—	2	8	no	—
160	#107	—	4	8	no	—
161	#107	—	4	8	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	#103	—	4	16	no	—
164	#102	—	2	16	no	—
165	#102	—	4	16	no	—
166	#102	—	8	8	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
168	#97	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
180	#41	—	4	32	no	—
181	#41	—	8	16	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	D₈	—	4	16	no	—
228	M₁₆	—	2	16	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	16	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₄²	#121	1	2	yes	—
258	C₄²	#121	1	2	yes	—
259	C₄²	#124	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	#390	1	2	yes	—
276	C₂³	#493	1	2	yes	—
277	C₂³	#495	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	4	8	no	—
280	Q₈	—	8	4	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	8	16	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	16	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	16	8	no	—
304	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₄×D₈	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#466	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	8	no	—
325	C₈	—	4	4	no	—
326	C₈	#417	1	8	yes	complemented
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	16	2	no	—
337	C₂²	—	16	2	no	—
338	C₂²	—	16	2	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	#1970	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	16	4	no	—
352	C₄	#1970	1	4	yes	—
353	C₄	C₂×#417	1	2	yes	—
354	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
355	C₄	#2951	1	2	yes	—
356	C₄	C₂×#466	1	2	yes	—
357	C₄	#3061	1	2	yes	—
358	C₄	#3141	1	2	yes	—
359	C₂	—	2	4	no	—
360	C₂	—	16	4	no	—
361	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#19638	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#19639	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#21200	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂×#1970	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#21230	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21859	C₂	semidirect
3. #21200	C₂	semidirect
4. C₂×#1845	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×M₁₆	C₂	semidirect
6. #9830	C₂	semidirect
7. #9824	C₂	semidirect
8. #9823	C₂	semidirect
11. #3169	C₄	semidirect
56. #500	C₂×C₄	semidirect
58. #493	C₂×C₄	semidirect
60. #486	C₂×C₄	semidirect
112. C₂×M₁₆	D₈	semidirect
326. C₈	#417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#21859	2
#21200	2
C₂×#1845	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9830	2
#9824	2
#9823	2