Subgroups — #206185

Order 512.

1538 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9842	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9829	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂³×SD₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#492	—	2	4	no	—
14	C₂×#492	—	2	2	no	—
15	C₂×#492	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#418	—	2	2	no	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1993	—	2	2	no	—
25	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1987	—	2	2	no	—
28	#1982	—	2	2	no	—
29	#1961	—	2	2	no	—
30	#1957	C₂²	1	4	yes	—
31	#1957	C₂²	1	4	yes	—
32	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1824	—	2	2	no	—
35	#1808	—	2	2	no	—
36	#1786	—	2	2	no	—
37	C₄×#107	—	2	2	no	—
38	#1736	—	2	2	no	—
39	#1451	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	4	16	no	—
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	—	2	1	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	1	no	—
63	C₂×#127	—	2	1	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	—	2	1	no	—
69	C₂×#117	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#492	—	2	16	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#492	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#431	—	2	2	no	—
79	#431	—	2	2	no	—
80	C₂×#107	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
82	#418	—	4	8	no	—
83	C₂×#102	—	2	8	no	—
84	C₂×#102	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	#382	—	2	1	no	—
99	#382	—	2	1	no	—
100	#380	—	2	1	no	—
101	#380	—	2	1	no	—
102	#380	—	2	1	no	—
103	#380	—	2	1	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	#340	—	2	4	no	—
109	#340	—	2	8	no	—
110	#340	—	2	8	no	—
111	#322	—	2	4	no	—
112	#322	—	2	4	no	—
113	C₂⁵	—	4	1	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
117	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	64	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	4	2	no	—
170	#127	—	4	2	no	—
171	#127	—	4	2	no	—
172	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	#117	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	4	8	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	#102	—	4	16	no	—
204	#102	—	8	8	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
206	#97	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
212	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#95	—	4	1	no	—
217	#95	—	4	1	no	—
218	#95	—	4	1	no	—
219	#95	—	4	1	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	4	4	no	—
222	C₂⁴	—	8	4	no	—
223	C₂⁴	—	8	4	no	—
224	C₂⁴	—	8	2	no	—
225	C₂⁴	—	8	2	no	—
226	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	16	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂×D₄	—	8	4	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	—	8	4	no	—
253	C₂×D₄	—	8	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	8	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	SD₁₆	—	4	32	no	—
279	SD₁₆	—	4	32	no	—
280	M₁₆	—	4	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	16	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
305	C₄²	—	8	2	no	—
306	C₄²	—	8	2	no	—
307	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₄²	#121	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	2	yes	—
312	C₄²	#124	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	8	8	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	4	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	8	8	no	—
327	C₂³	—	16	8	no	—
328	C₂³	—	16	8	no	—
329	C₂³	#390	1	2	yes	—
330	C₂³	#496	1	2	yes	—
331	C₂³	#497	1	2	yes	—
332	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	4	8	no	—
334	Q₈	—	8	8	no	—
335	Q₈	—	8	4	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	D₄	—	8	8	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
364	C₂×C₄	#468	1	8	yes	—
365	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#497	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
377	C₈	—	2	4	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	—	4	4	no	—
380	C₈	#418	1	8	yes	complemented
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	16	16	no	—
389	C₂²	—	16	4	no	—
390	C₂²	—	16	4	no	—
391	C₂²	#1973	1	4	yes	—
392	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3151	1	2	yes	—
396	C₂²	#3154	1	2	yes	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	—	16	2	no	—
401	C₄	—	16	2	no	—
402	C₄	#1973	1	4	yes	—
403	C₄	C₂×#418	1	2	yes	—
404	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
405	C₄	#2949	1	2	yes	—
406	C₄	C₂×#468	1	2	yes	—
407	C₄	#3057	1	2	yes	—
408	C₄	#3138	1	2	yes	—
409	C₂	—	2	4	no	—
410	C₂	—	16	4	no	—
411	C₂	#19671	1	2	yes	—
412	C₂	#19679	1	2	yes	—
413	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
414	C₂	C₂×#1973	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#21231	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21834	C₂	semidirect
4. #21324	C₂	semidirect
6. #20817	C₂	semidirect
7. C₂×#1451	C₂	semidirect
8. #9842	C₂	semidirect
9. #9829	C₂	semidirect
15. C₂×#492	C₄	semidirect
25. #1990	C₂²	semidirect
26. #1990	C₂²	semidirect
32. #1845	C₂²	semidirect
33. #1834	C₂²	semidirect
40. C₂×#322	C₂²	semidirect
41. C₂×#322	C₂²	semidirect
380. C₈	#418	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
#21834	2
#21803	2
#21324	2
#21203	2
#20817	2
C₂×#1451	2
#9842	2
#9829	2