Subgroups — #206199

Order 512.

1078 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 449 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21863	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9838	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#9826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3131	—	2	4	no	—
15	#3131	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#488	—	2	2	no	—
17	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#416	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1956	C₂²	1	2	yes	—
34	#1956	C₂²	1	2	yes	—
35	#1895	—	2	2	no	—
36	#1894	—	2	2	no	—
37	#1875	—	2	2	no	—
38	#1873	—	2	2	no	—
39	#1844	C₂²	1	2	yes	—
40	#1834	C₂²	1	2	yes	—
41	#1807	—	2	2	no	—
42	#1805	—	2	2	no	—
43	#1804	—	2	2	no	—
44	C₄×#106	—	2	2	no	—
45	#1763	—	2	2	no	—
46	#1762	—	2	2	no	—
47	#1451	—	2	4	no	—
48	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂²×#41	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
53	#533	—	2	2	no	—
54	#533	—	2	2	no	—
55	#533	—	2	2	no	—
56	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	#532	—	2	2	no	—
59	#532	—	2	2	no	—
60	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#125	—	2	1	no	—
66	C₂×#124	—	2	1	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
69	C₂×#121	—	2	1	no	—
70	C₂×#121	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
75	C₂×#117	—	2	1	no	—
76	C₂×#117	—	2	1	no	—
77	C₂×#117	—	2	1	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#488	—	2	16	no	—
80	#487	—	2	2	no	—
81	#487	—	2	2	no	—
82	#487	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#487	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#486	—	2	2	no	—
85	#486	—	2	2	no	—
86	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#431	—	2	2	no	—
90	C₂×#106	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
92	#416	—	2	16	no	—
93	C₂×#103	—	2	2	no	—
94	C₂×#103	—	2	2	no	—
95	C₂×#103	—	2	4	no	—
96	C₂×#103	—	2	4	no	—
97	C₂×#102	—	2	2	no	—
98	C₂×#102	—	2	2	no	—
99	C₂×#102	—	2	4	no	—
100	C₂×#102	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#382	—	2	1	no	—
115	#382	—	2	1	no	—
116	#380	—	2	1	no	—
117	#380	—	2	1	no	—
118	#380	—	2	1	no	—
119	#380	—	2	1	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	#340	—	2	4	no	—
125	#340	—	2	4	no	—
126	#340	—	2	4	no	—
127	#340	—	2	4	no	—
128	#340	—	2	4	no	—
129	#322	—	2	4	no	—
130	#322	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	2	4	no	—
132	C₂×#41	—	4	8	no	—
133	C₂×#41	—	4	2	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
141	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	#127	—	2	1	no	—
166	#127	—	2	1	no	—
167	#127	—	2	1	no	—
168	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	#125	—	2	4	no	—
170	#125	—	4	2	no	—
171	#124	—	2	4	no	—
172	#124	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	2	4	no	—
179	#121	—	4	2	no	—
180	#121	—	4	2	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₄×D₄	—	2	4	no	—
186	C₄×D₄	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	4	2	no	—
188	C₄×D₄	—	4	2	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	4	2	no	—
191	#117	—	8	2	no	—
192	#117	—	8	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	#106	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
225	#103	—	2	8	no	—
226	#103	—	2	8	no	—
227	#103	—	4	8	no	—
228	#103	—	8	4	no	—
229	#102	—	2	8	no	—
230	#102	—	2	8	no	—
231	#102	—	4	8	no	—
232	#102	—	8	4	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
234	#97	—	2	4	no	—
235	C₄×C₈	—	2	2	no	—
236	C₄×C₈	—	2	2	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	C₄×C₈	—	2	2	no	—
239	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
240	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
241	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	#95	—	4	1	no	—
245	#95	—	4	1	no	—
246	#95	—	4	1	no	—
247	#95	—	4	1	no	—
248	C₂⁴	—	4	1	no	—
249	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	4	16	no	—
251	#41	—	8	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×D₄	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	1	no	—
267	C₂×D₄	—	4	1	no	—
268	C₂×D₄	—	4	1	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	M₁₆	—	4	8	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	8	no	—
307	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
334	C₄²	—	4	4	no	—
335	C₄²	—	8	2	no	—
336	C₄²	—	8	2	no	—
337	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
338	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
340	C₄²	#121	1	2	yes	—
341	C₄²	#121	1	2	yes	—
342	C₄²	#124	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	—	2	2	no	—
348	C₂³	—	2	2	no	—
349	C₂³	—	2	1	no	—
350	C₂³	—	2	1	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	8	2	no	—
353	C₂³	—	8	2	no	—
354	C₂³	—	8	1	no	—
355	C₂³	—	8	1	no	—
356	C₂³	#390	1	2	yes	—
357	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
358	Q₈	—	4	4	no	—
359	Q₈	—	4	4	no	—
360	Q₈	—	4	4	no	—
361	Q₈	—	8	2	no	—
362	Q₈	—	8	2	no	—
363	Q₈	—	8	2	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	8	8	no	—
368	D₄	—	8	2	no	—
369	D₄	—	8	2	no	—
370	D₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	1	no	—
374	C₂×C₄	—	2	1	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	4	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	8	8	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	1	no	—
388	C₂×C₄	—	8	1	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	—	8	2	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
405	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
406	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	2	4	no	—
410	C₈	—	4	4	no	—
411	C₈	—	4	4	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	4	2	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	8	2	no	—
419	C₂²	—	8	2	no	—
420	C₂²	—	16	2	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3150	1	2	yes	—
424	C₂²	#3153	1	2	yes	—
425	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
427	C₄	—	2	2	no	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	2	2	no	—
430	C₄	—	8	2	no	—
431	C₄	—	8	2	no	—
432	C₄	—	8	2	no	—
433	C₄	—	16	2	no	—
434	C₄	—	16	2	no	—
435	C₄	#2896	1	2	yes	—
436	C₄	#2943	1	2	yes	—
437	C₄	#2952	1	2	yes	—
438	C₄	#3054	1	2	yes	—
439	C₄	#3060	1	2	yes	—
440	C₄	#3140	1	2	yes	—
441	C₂	—	4	2	no	—
442	C₂	—	16	2	no	—
443	C₂	#19691	1	2	yes	—
444	C₂	#19692	1	2	yes	—
445	C₂	#21204	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#21228	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#21229	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21864	C₂	semidirect
5. #21409	C₂	semidirect
6. #20816	C₂	semidirect
7. C₂×#1451	C₂	semidirect
8. #9840	C₂	semidirect
9. #9838	C₂	semidirect
10. #9827	C₂	semidirect
11. #9826	C₂	semidirect
15. #3131	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3131	2
#21864	2
#21863	2
#21410	2
#21409	2
#20816	2
C₂×#1451	2
#9840	2
#9838	2
#9827	2
#9826	2