Subgroups — #20620

Order 256.

1824 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1794	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#585	—	2	4	no	—
8	#585	—	2	4	no	—
9	#585	—	2	2	no	—
10	#585	—	2	2	no	—
11	#585	C₄	1	4	yes	complemented
12	#585	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
14	C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
16	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂²×#41	—	2	4	no	—
19	C₂²×#41	—	2	2	no	—
20	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#421	—	2	4	no	—
26	#421	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#104	—	2	4	no	—
28	#419	—	2	2	no	—
29	#418	—	2	2	no	—
30	#417	—	2	4	no	—
31	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#410	—	2	2	no	—
33	#410	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#99	—	2	2	no	—
35	#408	—	2	2	no	—
36	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#407	—	2	2	no	—
38	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
39	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
40	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
41	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
42	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
43	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
44	2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
46	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
47	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
48	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
49	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
50	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
51	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
52	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
53	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
54	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂×#41	—	2	4	no	—
56	C₂×#41	—	2	8	no	—
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	2	16	no	—
59	C₂×#41	—	2	16	no	—
60	C₂×#41	—	2	8	no	—
61	C₂×#41	—	2	8	no	—
62	C₂×#41	—	2	16	no	—
63	C₂×#41	—	2	16	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	—	2	4	no	—
66	C₂×#41	—	2	4	no	—
67	C₂×#41	—	2	8	no	—
68	C₂×#41	—	2	2	no	—
69	C₂×#41	—	2	2	no	—
70	C₂×#41	—	2	8	no	—
71	C₂×#41	—	2	2	no	—
72	C₂×#41	—	2	2	no	—
73	C₂×#41	—	2	2	no	—
74	C₂×#41	—	2	2	no	—
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	—	2	2	no	—
79	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Q₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	—	2	2	no	—
117	#117	—	2	2	no	—
118	#117	C₂³	1	4	yes	complemented
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	#104	—	2	16	no	—
123	#103	—	2	8	no	—
124	#102	—	2	8	no	—
125	#99	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	2	no	—
129	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	#41	—	2	16	no	—
132	#41	—	2	16	no	—
133	#41	—	2	32	no	—
134	#41	—	2	32	no	—
135	#41	—	2	16	no	—
136	#41	—	2	16	no	—
137	#41	—	2	16	no	—
138	#41	—	2	16	no	—
139	#41	—	2	16	no	—
140	#41	—	2	16	no	—
141	#41	—	2	16	no	—
142	#41	—	2	4	no	—
143	#41	—	2	4	no	—
144	#41	—	2	16	no	—
145	#41	—	2	4	no	—
146	#41	—	2	4	no	—
147	#41	—	2	4	no	—
148	#41	—	2	4	no	—
149	#41	—	2	4	no	—
150	#41	—	2	4	no	—
151	#41	—	2	4	no	—
152	#41	—	2	4	no	—
153	#41	—	2	4	no	—
154	#41	—	2	4	no	—
155	#41	—	2	4	no	—
156	#41	—	2	4	no	—
157	#41	—	2	4	no	—
158	#41	—	2	4	no	—
159	#41	—	2	4	no	—
160	#41	—	2	4	no	—
161	#41	—	2	4	no	—
162	#41	—	2	4	no	—
163	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
164	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
165	#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
166	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	32	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	32	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	4	1	no	—
243	M₁₆	—	4	1	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	1	no	—
246	M₁₆	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	2	16	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	8	1	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	8	no	—
267	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#120	1	2	yes	—
271	C₂³	#120	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	2	16	no	—
274	Q₈	—	2	4	no	—
275	Q₈	—	2	4	no	—
276	Q₈	—	2	4	no	—
277	Q₈	—	2	4	no	—
278	Q₈	—	2	4	no	—
279	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
280	D₄	—	2	32	no	—
281	D₄	—	2	16	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	2	8	no	—
284	D₄	—	2	8	no	—
285	D₄	—	2	8	no	—
286	D₄	—	2	8	no	—
287	D₄	—	2	8	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	2	4	no	—
291	D₄	—	2	4	no	—
292	D₄	—	2	4	no	—
293	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	16	no	—
346	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#379	1	2	yes	—
348	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	8	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	#379	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#379	1	2	yes	—
356	C₄	#379	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
358	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	4	8	no	—
367	C₂	C₂×#379	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂×#120
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂×#379
prime radical	C₂×#585	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#421	C₂	semidirect
3. #2896	C₂	semidirect
4. C₂×#410	C₂	semidirect
5. #2879	C₂	semidirect
6. #1794	C₂	semidirect
11. #585	C₄	semidirect
14. C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	semidirect
17. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
22. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
23. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
24. C₂×#117	C₂²	semidirect
26. #421	C₂²	semidirect
31. #416	C₂²	semidirect
33. #410	C₂²	semidirect
36. #408	C₂²	semidirect
44. 2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
54. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
112. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
114. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
118. #117	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂×#421	2
#2896	2
C₂×#410	2
#2879	2
#1794	2