Subgroups — #20623

Order 256.

1822 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1796	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1795	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#585	—	2	4	no	—
9	#585	—	2	4	no	—
10	#585	—	2	4	no	—
11	#585	—	2	4	no	—
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
13	C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
16	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#41	—	2	2	no	—
20	C₂²×#41	—	2	2	no	—
21	C₂²×#41	C₄	1	4	yes	complemented
22	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#421	—	2	4	no	—
28	#421	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#104	—	2	4	no	—
30	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#417	—	2	4	no	—
33	#416	—	2	4	no	—
34	#413	—	2	2	no	—
35	#413	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×#101	—	2	1	no	—
37	C₂×#100	—	2	1	no	—
38	#410	—	2	2	no	—
39	#410	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂×#99	—	2	2	no	—
41	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
42	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
43	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
44	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
45	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
46	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
47	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
48	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
49	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
50	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
51	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
52	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
53	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
54	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
55	C₂×#41	—	2	16	no	—
56	C₂×#41	—	2	16	no	—
57	C₂×#41	—	2	16	no	—
58	C₂×#41	—	2	16	no	—
59	C₂×#41	—	2	8	no	—
60	C₂×#41	—	2	8	no	—
61	C₂×#41	—	2	8	no	—
62	C₂×#41	—	2	8	no	—
63	C₂×#41	—	2	2	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	2	4	no	—
66	C₂×#41	—	2	2	no	—
67	C₂×#41	—	2	2	no	—
68	C₂×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×#41	—	2	4	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	1	no	—
72	C₂×#41	—	2	1	no	—
73	C₂×#41	—	2	1	no	—
74	C₂×#41	—	2	1	no	—
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	—	2	2	no	—
79	C₂×#41	—	2	2	no	—
80	C₂×#41	—	2	2	no	—
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
89	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
92	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
112	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	—	2	2	no	—
130	#117	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	#104	—	2	16	no	—
135	#103	—	2	8	no	—
136	#102	—	2	8	no	—
137	#101	—	2	4	no	—
138	#100	—	2	4	no	—
139	#99	—	2	8	no	—
140	C₂⁴	—	2	1	no	—
141	C₂⁴	—	2	4	no	—
142	C₂⁴	—	2	1	no	—
143	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	#41	—	2	16	no	—
146	#41	—	2	16	no	—
147	#41	—	2	32	no	—
148	#41	—	2	32	no	—
149	#41	—	2	16	no	—
150	#41	—	2	16	no	—
151	#41	—	2	16	no	—
152	#41	—	2	16	no	—
153	#41	—	2	16	no	—
154	#41	—	2	16	no	—
155	#41	—	2	8	no	—
156	#41	—	2	8	no	—
157	#41	—	2	8	no	—
158	#41	—	2	8	no	—
159	#41	—	2	2	no	—
160	#41	—	2	2	no	—
161	#41	—	2	2	no	—
162	#41	—	2	2	no	—
163	#41	—	2	4	no	—
164	#41	—	2	4	no	—
165	#41	—	2	4	no	—
166	#41	—	2	4	no	—
167	#41	—	2	4	no	—
168	#41	—	2	4	no	—
169	#41	—	2	4	no	—
170	#41	—	2	4	no	—
171	#41	—	2	4	no	—
172	#41	—	2	4	no	—
173	#41	—	2	4	no	—
174	#41	—	2	4	no	—
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	2	4	no	—
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
202	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	32	no	—
205	C₂×D₄	—	2	16	no	—
206	C₂×D₄	—	2	16	no	—
207	C₂×D₄	—	2	32	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
236	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	2	16	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	8	1	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#120	1	2	yes	—
301	C₂³	#120	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	2	16	no	—
304	Q₈	—	2	2	no	—
305	Q₈	—	2	2	no	—
306	Q₈	—	2	4	no	—
307	Q₈	—	2	4	no	—
308	Q₈	—	2	4	no	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
311	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
312	D₄	—	2	16	no	—
313	D₄	—	2	16	no	—
314	D₄	—	2	16	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	2	8	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	2	4	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	2	2	no	—
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	4	no	—
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	2	4	no	—
328	D₄	—	2	4	no	—
329	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
330	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	16	no	—
333	C₂×C₄	—	2	16	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	1	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	16	no	—
388	C₂²	#379	1	2	yes	—
389	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	#379	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#379	1	2	yes	—
399	C₄	#379	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	4	4	no	—
409	C₂	—	4	4	no	—
410	C₂	—	4	4	no	—
411	C₂	C₂×#379	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#379
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂×#379
prime radical	C₂×#585	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#421	C₂	semidirect
3. #2896	C₂	semidirect
4. C₂×#413	C₂	semidirect
5. C₂×#410	C₂	semidirect
6. #1796	C₂	semidirect
7. #1795	C₂	semidirect
13. C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	semidirect
17. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
21. C₂²×#41	C₄	semidirect
25. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂×#117	C₂²	semidirect
28. #421	C₂²	semidirect
30. #419	C₂²	semidirect
31. #418	C₂²	semidirect
35. #413	C₂²	semidirect
39. #410	C₂²	semidirect
87. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
100. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
111. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂×#421	2
#2896	2
C₂×#413	2
C₂×#410	2
#1796	2
#1795	2