Subgroups — #206248

Order 512.

1148 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21859	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1452	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3131	—	2	4	no	—
11	#3131	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#488	—	2	2	no	—
13	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#107	—	2	2	no	—
17	C₂×#416	—	2	2	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	4	yes	—
21	#1990	C₂²	1	4	yes	—
22	#1957	C₂²	1	4	yes	—
23	#1956	C₂²	1	4	yes	—
24	#1874	—	2	4	no	—
25	#1872	—	2	4	no	—
26	#1845	—	2	2	no	—
27	#1845	C₂²	1	4	yes	—
28	#1803	—	2	4	no	—
29	#1802	—	2	4	no	—
30	#1452	—	2	4	no	—
31	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×#41	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
34	#533	—	2	2	no	—
35	#533	—	2	4	no	—
36	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	#532	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	1	no	—
44	C₂×#124	—	2	1	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#488	—	2	16	no	—
55	#487	—	2	4	no	—
56	#487	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	#486	—	2	4	no	—
58	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	#431	—	2	4	no	—
60	#431	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	8	no	—
62	C₂×#107	—	4	8	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
64	#416	—	2	16	no	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#103	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#384	—	2	2	no	—
78	#384	C₂³	1	4	yes	—
79	#340	—	2	8	no	—
80	#340	—	2	8	no	—
81	#322	—	2	8	no	—
82	C₂×#41	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	4	2	no	—
84	C₂×#41	—	4	4	no	—
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
90	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	#127	—	2	1	no	—
108	#127	—	2	2	no	—
109	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	#125	—	2	4	no	—
111	#125	—	4	2	no	—
112	#124	—	2	4	no	—
113	#124	—	4	2	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
116	#121	—	2	8	no	—
117	#121	—	4	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
119	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	4	4	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	#117	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#107	—	4	16	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	#103	—	2	16	no	—
149	#103	—	8	8	no	—
150	#102	—	2	16	no	—
151	#102	—	8	8	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₄×C₈	—	2	4	no	—
154	C₄×C₈	—	2	4	no	—
155	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂⁴	—	4	1	no	—
159	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
160	#41	—	4	16	no	—
161	#41	—	8	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	1	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	8	2	no	—
180	C₂×D₄	—	8	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	16	no	—
205	C₂×C₈	—	2	8	no	—
206	C₂×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	—	2	8	no	—
208	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄²	—	4	4	no	—
225	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
227	C₄²	#121	1	4	yes	—
228	C₄²	#124	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	8	1	no	—
236	C₂³	—	8	1	no	—
237	C₂³	—	8	2	no	—
238	C₂³	—	8	2	no	—
239	C₂³	#390	1	2	yes	—
240	C₂³	#496	1	2	yes	—
241	C₂³	#497	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
243	Q₈	—	4	4	no	—
244	Q₈	—	4	8	no	—
245	Q₈	—	8	2	no	—
246	Q₈	—	8	4	no	—
247	D₄	—	4	4	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	8	8	no	—
250	D₄	—	8	2	no	—
251	D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	8	1	no	—
259	C₂×C₄	—	8	1	no	—
260	C₂×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂×C₄	—	8	8	no	—
263	C₂×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	16	8	no	—
267	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
271	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#497	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
281	C₈	—	2	8	no	—
282	C₈	—	4	8	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	8	2	no	—
288	C₂²	—	8	4	no	—
289	C₂²	—	16	1	no	—
290	C₂²	—	16	1	no	—
291	C₂²	—	16	2	no	—
292	C₂²	#1959	1	4	yes	—
293	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#3155	1	2	yes	—
297	C₂²	#3156	1	2	yes	—
298	C₄	—	2	4	no	—
299	C₄	—	8	2	no	—
300	C₄	—	8	4	no	—
301	C₄	—	16	4	no	—
302	C₄	#1959	1	4	yes	—
303	C₄	C₂×#417	1	2	yes	—
304	C₄	#2951	1	4	yes	—
305	C₄	#3061	1	4	yes	—
306	C₄	C₂×#489	1	2	yes	—
307	C₂	—	2	4	no	—
308	C₂	—	16	2	no	—
309	C₂	#19698	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#19699	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#19704	1	2	yes	—
312	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#21230	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21860	C₂	semidirect
4. C₂×#1845	C₂	semidirect
5. C₂×#1452	C₂	semidirect
6. #9833	C₂	semidirect
7. #9830	C₂	semidirect
11. #3131	C₄	semidirect
56. #487	C₂×C₄	semidirect
58. #486	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3131	2
#21860	2
#21859	2
C₂×#1845	2
C₂×#1452	2
#9833	2
#9830	2