Subgroups — #20629

Order 256.

753 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 244 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#408	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1797	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1729	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#41	—	2	4	no	—
12	C₄×#41	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#423	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#408	—	2	8	no	—
30	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
31	#336	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	2	no	—
34	C₂×#41	—	2	2	no	—
35	C₂×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
37	C₂×#41	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₄×D₄	—	2	8	no	—
58	C₄×D₄	—	2	8	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	#117	—	2	2	no	—
62	#117	—	2	2	no	—
63	#117	—	2	4	no	—
64	#117	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
88	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#41	—	2	8	no	—
91	#41	—	2	8	no	—
92	#41	—	2	8	no	—
93	#41	—	2	8	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
102	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	M₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂×C₈	—	4	8	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₄²	—	2	4	no	—
148	C₄²	—	2	4	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	2	2	no	—
151	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	4	no	—
162	C₂³	—	2	4	no	—
163	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂³	#117	1	2	yes	—
167	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
168	Q₈	—	2	8	no	—
169	D₄	—	2	16	no	—
170	D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₈	—	4	4	no	—
208	C₈	—	4	4	no	—
209	C₂²	—	2	2	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	—	2	4	no	—
212	C₂²	—	2	4	no	—
213	C₂²	—	2	8	no	—
214	C₂²	—	2	4	no	—
215	C₂²	—	4	2	no	—
216	C₂²	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	4	4	no	—
218	C₂²	#380	1	4	yes	—
219	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
223	C₂²	#568	1	2	yes	—
224	C₄	—	2	2	no	—
225	C₄	—	2	2	no	—
226	C₄	—	2	2	no	—
227	C₄	—	2	4	no	—
228	C₄	—	4	2	no	—
229	C₄	—	4	2	no	—
230	C₄	#380	1	4	yes	—
231	C₄	#408	1	4	yes	complemented
232	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
233	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
234	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂	—	2	4	no	—
237	C₂	—	4	4	no	—
238	C₂	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
239	C₂	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#2879	1	1	yes	characteristic
241	C₂	#2906	1	2	yes	—
242	C₂	#2925	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#423	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. #1798	C₂	semidirect
6. #1797	C₂	semidirect
7. #1729	C₂	semidirect
231. C₄	#408	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂×#423	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₂×#408	2
#1798	2
#1797	2
#1729	2