Subgroups — #206325

Order 512.

1350 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21410	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9835	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#9820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#137	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3152	—	2	4	no	—
16	#3152	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#497	—	2	2	no	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2285	C₂²	1	2	yes	—
25	#1993	—	2	4	no	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1895	—	2	4	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1834	C₂²	1	2	yes	—
38	#1809	—	2	2	no	—
39	#1776	—	2	2	no	—
40	#1762	—	2	4	no	—
41	#1736	—	2	4	no	—
42	#1455	—	2	4	no	—
43	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×#41	—	2	1	no	—
47	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×#137	—	2	16	no	—
49	C₂×#137	—	4	8	no	—
50	C₂×#137	—	4	8	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	#532	—	2	4	no	—
59	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#124	—	2	1	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂×#117	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#497	—	2	16	no	—
76	#494	—	2	2	no	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#492	—	2	2	no	—
81	#492	—	2	2	no	—
82	#492	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#492	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×#107	—	2	2	no	—
85	C₂×#106	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
92	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#384	C₂³	1	2	yes	—
99	#384	C₂³	1	2	yes	—
100	#382	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	#380	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#340	—	2	4	no	—
109	#340	—	2	4	no	—
110	#340	—	2	4	no	—
111	#340	—	2	4	no	—
112	#322	—	2	4	no	—
113	#322	—	2	2	no	—
114	C₈²	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	4	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	—	4	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	#137	—	4	64	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	#127	—	2	1	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	#124	—	2	4	no	—
174	#124	—	4	2	no	—
175	#121	—	2	8	no	—
176	#121	—	4	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	4	4	no	—
179	#117	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	4	4	no	—
202	#106	—	4	4	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	#102	—	4	8	no	—
205	#97	—	2	8	no	—
206	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	1	no	—
218	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	4	16	no	—
220	#41	—	8	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	1	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	2	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	Q₁₆	—	4	16	no	—
273	Q₁₆	—	4	16	no	—
274	SD₁₆	—	4	16	no	—
275	SD₁₆	—	4	16	no	—
276	M₁₆	—	2	16	no	—
277	M₁₆	—	4	16	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	#137	1	8	yes	complemented
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₄²	—	8	4	no	—
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
308	C₄²	#121	1	4	yes	—
309	C₄²	#124	1	2	yes	—
310	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	8	1	no	—
319	C₂³	—	8	1	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	#390	1	2	yes	—
323	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	8	8	no	—
328	Q₈	—	8	2	no	—
329	Q₈	—	8	2	no	—
330	Q₈	—	8	2	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	1	no	—
350	C₂×C₄	—	8	1	no	—
351	C₂×C₄	—	8	1	no	—
352	C₂×C₄	—	8	1	no	—
353	C₂×C₄	—	8	1	no	—
354	C₂×C₄	—	8	1	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	2	8	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	#418	1	8	yes	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	16	1	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	—	16	1	no	—
385	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#3152	1	2	yes	—
389	C₂²	#3153	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	—	16	2	no	—
396	C₄	—	16	2	no	—
397	C₄	C₂×#418	1	2	yes	—
398	C₄	C₄×#137	1	4	yes	—
399	C₄	#3056	1	4	yes	—
400	C₄	#3138	1	2	yes	—
401	C₂	—	4	2	no	—
402	C₂	—	16	2	no	—
403	C₂	#19746	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#19748	1	2	yes	—
405	C₂	#19750	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#21237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21324	C₂	semidirect
4. #20824	C₂	semidirect
5. C₂×#1455	C₂	semidirect
6. #9842	C₂	semidirect
7. #9839	C₂	semidirect
8. #9835	C₂	semidirect
9. #9829	C₂	semidirect
10. #9825	C₂	semidirect
11. #9820	C₂	semidirect
16. #3152	C₄	semidirect
289. C₂×C₈	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
#21410	2
#21324	2
#20824	2
C₂×#1455	2
#9842	2
#9839	2
#9835	2
#9829	2
#9825	2
#9820	2