Subgroups — #206336

Order 512.

1168 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21805	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1453	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9838	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9832	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9828	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3184	—	2	4	no	—
12	#3184	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#469	—	2	2	no	—
17	C₂×#442	—	2	2	no	—
18	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1990	C₂²	1	2	yes	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1983	—	2	4	no	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1956	C₂²	1	2	yes	—
30	#1956	C₂²	1	2	yes	—
31	#1874	—	2	4	no	—
32	#1836	—	2	2	no	—
33	#1834	C₂²	1	2	yes	—
34	#1834	C₂²	1	2	yes	—
35	#1802	—	2	4	no	—
36	#1788	—	2	4	no	—
37	#1736	—	2	2	no	—
38	#1453	—	2	4	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
45	#532	—	2	4	no	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#124	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#498	—	2	2	no	—
61	#498	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#469	—	2	16	no	—
67	#442	—	2	16	no	—
68	#431	—	2	4	no	—
69	#431	—	2	4	no	—
70	C₂×#106	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#103	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#384	—	2	2	no	—
88	#384	—	2	1	no	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	#384	C₂³	1	2	yes	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#380	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#322	—	2	4	no	—
99	#322	—	2	2	no	—
100	C₈²	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	8	4	no	—
104	C₂×#41	—	8	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×D₈	—	2	8	no	—
115	C₂×D₈	—	4	4	no	—
116	C₂×D₈	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#127	—	2	2	no	—
129	#127	—	2	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	#124	—	2	8	no	—
133	#124	—	4	4	no	—
134	#121	—	2	8	no	—
135	#121	—	2	8	no	—
136	#121	—	4	4	no	—
137	#121	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	8	no	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	#117	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#106	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
167	#103	—	8	4	no	—
168	#103	—	8	4	no	—
169	#102	—	2	16	no	—
170	#102	—	8	4	no	—
171	#102	—	8	4	no	—
172	#102	—	8	4	no	—
173	#102	—	8	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
175	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	8	16	no	—
188	#41	—	8	16	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	D₈	—	4	16	no	—
229	M₁₆	—	4	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
257	C₄²	—	8	2	no	—
258	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
260	C₄²	#121	1	4	yes	—
261	C₄²	#124	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	#390	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	4	8	no	—
279	Q₈	—	8	4	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	8	16	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	16	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	16	4	no	—
306	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	4	4	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3154	1	2	yes	—
336	C₂²	#3155	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	#2896	1	2	yes	—
343	C₄	#2946	1	4	yes	—
344	C₄	#3062	1	4	yes	—
345	C₄	#3142	1	2	yes	—
346	C₂	—	4	2	no	—
347	C₂	—	16	4	no	—
348	C₂	#19722	1	2	yes	—
349	C₂	#19724	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#19729	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#21201	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#21235	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3184	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21859	C₂	semidirect
3. #21805	C₂	semidirect
4. #20764	C₂	semidirect
5. C₂×#1453	C₂	semidirect
6. #9838	C₂	semidirect
7. #9832	C₂	semidirect
8. #9828	C₂	semidirect
9. #9822	C₂	semidirect
12. #3184	C₄	semidirect
61. #498	C₂×C₄	semidirect
63. #493	C₂×C₄	semidirect
65. #486	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3184	2
#21859	2
#21805	2
#20764	2
C₂×#1453	2
#9838	2
#9832	2
#9828	2
#9822	2