Subgroups — #206338

Order 512.

1220 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21864	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21803	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1453	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9838	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#418	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	#1990	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#1990	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#1982	—	2	4	no	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1956	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#1956	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#1873	—	2	4	no	—
31	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1809	—	2	2	no	—
35	#1805	—	2	4	no	—
36	#1786	—	2	4	no	—
37	#1776	—	2	2	no	—
38	#1453	—	2	4	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	4	no	—
47	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	4	no	—
53	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#125	—	2	1	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#490	—	2	16	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#486	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#431	—	2	4	no	—
67	#431	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
71	#418	—	2	16	no	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#103	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	#382	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	#380	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#322	—	2	4	no	—
99	#322	—	2	2	no	—
100	C₈²	—	2	2	no	—
101	C₂⁵	—	4	1	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	#127	—	2	4	no	—
130	#127	—	2	8	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	2	no	—
134	#127	—	4	4	no	—
135	#127	—	4	2	no	—
136	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	#125	—	2	4	no	—
138	#125	—	4	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	4	2	no	—
145	#117	—	8	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#107	—	4	4	no	—
166	#106	—	4	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
168	#103	—	8	4	no	—
169	#103	—	8	4	no	—
170	#102	—	2	16	no	—
171	#102	—	2	16	no	—
172	#102	—	8	4	no	—
173	#102	—	8	4	no	—
174	#102	—	8	4	no	—
175	#102	—	8	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	#95	—	4	2	no	—
187	#95	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	8	2	no	—
191	C₂⁴	—	8	2	no	—
192	C₂⁴	—	8	4	no	—
193	C₂⁴	—	8	4	no	—
194	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	8	16	no	—
215	C₂×D₄	—	8	2	no	—
216	C₂×D₄	—	8	2	no	—
217	C₂×D₄	—	8	8	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	8	4	no	—
264	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
266	C₄²	#121	1	4	yes	—
267	C₄²	#124	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	8	8	no	—
277	C₂³	—	8	16	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	16	8	no	—
285	C₂³	—	16	4	no	—
286	C₂³	—	16	4	no	—
287	C₂³	#390	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	Q₈	—	8	4	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	8	8	no	—
295	D₄	—	8	16	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
326	C₈	—	2	4	no	—
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	16	16	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3154	1	2	yes	—
347	C₂²	#3155	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	16	2	no	—
352	C₄	—	16	2	no	—
353	C₄	#2896	1	2	yes	—
354	C₄	#2946	1	4	yes	—
355	C₄	#3062	1	4	yes	—
356	C₄	#3140	1	2	yes	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	16	4	no	—
359	C₂	#19715	1	2	yes	—
360	C₂	#19717	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#19729	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#21204	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21235	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21864	C₂	semidirect
4. #20824	C₂	semidirect
5. C₂×#1453	C₂	semidirect
6. #9838	C₂	semidirect
7. #9830	C₂	semidirect
8. #9827	C₂	semidirect
9. #9822	C₂	semidirect
13. #3138	C₄	semidirect
21. #1990	C₂²	semidirect
22. #1990	C₂²	semidirect
28. #1956	C₂²	semidirect
29. #1956	C₂²	semidirect
31. #1845	C₂²	semidirect
32. #1844	C₂²	semidirect
33. #1834	C₂²	semidirect
39. C₂×#322	C₂²	semidirect
40. C₂×#322	C₂²	semidirect
41. C₂×C₈²	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#21864	2
#21803	2
#20824	2
C₂×#1453	2
#9838	2
#9830	2
#9827	2
#9822	2