Subgroups — #206348

Order 512.

1236 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9847	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9844	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	#3169	—	2	2	no	—
10	#3169	—	2	2	no	—
11	#3169	C₄	1	2	yes	complemented
12	#3169	C₄	1	2	yes	complemented
13	#3169	C₂²	1	2	yes	—
14	#3169	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#486	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×#466	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#421	—	2	4	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1963	—	2	4	no	—
26	#1962	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
29	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#1567	—	2	2	no	—
32	#1567	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1567	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#335	—	2	2	no	—
35	#1492	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1486	—	2	4	no	—
37	#1480	—	2	4	no	—
38	C₂²×#41	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#532	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#124	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#500	—	2	2	no	—
60	#500	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#500	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#466	—	2	4	no	—
69	#466	—	2	4	no	—
70	#466	—	2	4	no	—
71	#466	—	2	4	no	—
72	C₄×D₈	—	2	4	no	—
73	C₄×D₈	—	2	4	no	—
74	C₄×D₈	—	2	4	no	—
75	C₄×D₈	—	2	4	no	—
76	#431	—	2	1	no	—
77	#431	—	2	1	no	—
78	#431	D₄	1	2	yes	—
79	#431	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×#107	—	2	2	no	—
81	#423	—	2	2	no	—
82	#423	—	2	2	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	#423	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	#421	—	4	16	no	—
89	C₂×#104	—	2	16	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
107	#376	D₄	1	2	yes	—
108	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
109	#336	—	2	4	no	—
110	#335	—	2	4	no	—
111	#335	—	2	4	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	2	no	—
116	C₂×#41	—	4	2	no	—
117	C₂×#41	—	4	8	no	—
118	C₂×#41	—	4	8	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	#124	—	2	4	no	—
152	#124	—	2	4	no	—
153	#124	—	4	2	no	—
154	#124	—	4	2	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#121	—	4	2	no	—
160	#121	—	4	2	no	—
161	#121	—	4	2	no	—
162	#121	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	D₈	1	8	yes	complemented
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	#107	—	2	4	no	—
195	#107	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
202	#104	—	4	32	no	—
203	#102	—	2	8	no	—
204	#102	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	8	no	—
209	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	—	4	2	no	—
223	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
224	#41	—	4	8	no	—
225	#41	—	4	8	no	—
226	#41	—	4	16	no	—
227	#41	—	8	8	no	—
228	#41	—	8	4	no	—
229	#41	—	8	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	D₈	—	4	8	no	—
274	D₈	—	4	8	no	—
275	M₁₆	—	4	8	no	—
276	M₁₆	—	8	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	8	4	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	complemented
317	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	8	4	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	#466	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	4	8	no	—
332	Q₈	—	8	4	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	8	no	—
361	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	—	2	2	no	—
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	8	4	no	—
387	C₈	#421	1	4	yes	complemented
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	16	8	no	—
399	C₂²	#1970	1	2	yes	—
400	C₂²	#1970	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	2	1	no	—
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	4	8	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	#1970	1	2	yes	—
412	C₄	#1970	1	2	yes	—
413	C₄	C₂×#421	1	2	yes	—
414	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
415	C₄	#2957	1	2	yes	—
416	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	2	2	no	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	16	4	no	—
422	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#1970	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21209	C₂	semidirect
3. C₈×#117	C₂	semidirect
4. C₂×#1567	C₂	semidirect
5. #17485	C₂	semidirect
6. #9847	C₂	semidirect
7. #9844	C₂	semidirect
11. #3169	C₄	semidirect
12. #3169	C₄	semidirect
15. C₂×#500	C₄	semidirect
16. C₂×#493	C₄	semidirect
17. C₂×#486	C₄	semidirect
26. #1962	C₂²	semidirect
29. #1744	C₂²	semidirect
30. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
32. #1567	C₂²	semidirect
33. #1567	C₂²	semidirect
35. #1492	C₂²	semidirect
172. #117	D₈	semidirect
316. C₄²	C₂×D₈	semidirect
387. C₈	#421	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#21209	2
C₈×#117	2
C₂×#1567	2
#17485	2
#9847	2
#9844	2