Subgroups — #206357

Order 512.

1216 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9847	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9844	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	#3245	—	2	2	no	—
10	#3226	C₄	1	4	yes	complemented
11	#3205	C₄	1	4	yes	complemented
12	#3186	—	2	2	no	—
13	#3169	C₂²	1	4	yes	—
14	#3100	—	2	4	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#421	—	2	4	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1963	—	2	4	no	—
21	#1962	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
23	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
24	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1571	—	2	4	no	—
27	#1567	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1492	—	2	4	no	—
29	#1492	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1492	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×#41	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
35	#532	—	2	2	no	—
36	#532	—	2	2	no	—
37	#532	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	2	no	—
40	#532	—	2	2	no	—
41	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	#532	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#124	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#486	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	#480	—	2	8	no	—
56	#474	—	2	8	no	—
57	#466	—	2	8	no	—
58	#459	—	2	8	no	—
59	#447	—	2	8	no	—
60	C₄×D₈	—	2	8	no	—
61	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#431	D₄	1	4	yes	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	#421	—	4	16	no	—
71	C₂×#104	—	2	16	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	#376	D₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#335	—	2	8	no	—
88	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
89	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	4	2	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	8	no	—
95	C₂×#41	—	4	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₈	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	#127	—	2	2	no	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	—	4	2	no	—
126	#124	—	4	2	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	4	no	—
129	#121	—	2	4	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	#121	—	4	2	no	—
132	#121	—	4	2	no	—
133	#121	—	4	2	no	—
134	#121	—	4	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	4	no	—
136	C₄×D₄	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	2	no	—
140	C₄×D₄	—	4	2	no	—
141	C₄×D₄	—	4	2	no	—
142	C₄×D₄	—	4	2	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	D₈	1	8	yes	complemented
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#107	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
168	#104	—	4	32	no	—
169	#102	—	2	16	no	—
170	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₄×C₈	—	2	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	4	8	no	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	4	8	no	—
184	#41	—	4	8	no	—
185	#41	—	4	16	no	—
186	#41	—	8	8	no	—
187	#41	—	8	4	no	—
188	#41	—	8	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	8	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	D₈	—	8	8	no	—
227	M₁₆	—	4	8	no	—
228	M₁₆	—	8	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	8	4	no	—
237	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₄²	#121	1	2	yes	—
255	C₄²	#124	1	2	yes	—
256	C₄²	#127	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	—
258	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	—	4	1	no	—
263	C₂³	—	4	1	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	4	no	—
268	C₂³	#390	1	2	yes	—
269	C₂³	#466	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	4	8	no	—
272	Q₈	—	8	4	no	—
273	D₄	—	4	8	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	8	4	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	8	8	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	D₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	8	no	—
297	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×D₈	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	2	8	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	16	8	no	—
325	C₂²	#1970	1	4	yes	—
326	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	1	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	#1970	1	4	yes	—
335	C₄	#2901	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
337	C₄	#2955	1	2	yes	—
338	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
339	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	—	16	4	no	—
343	C₂	#21210	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#1970	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#21242	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	#60940	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21209	C₂	semidirect
3. C₈×#117	C₂	semidirect
4. #17814	C₂	semidirect
5. C₂×#1492	C₂	semidirect
6. #9847	C₂	semidirect
7. #9844	C₂	semidirect
10. #3226	C₄	semidirect
11. #3205	C₄	semidirect
21. #1962	C₂²	semidirect
24. #1744	C₂²	semidirect
25. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
27. #1567	C₂²	semidirect
29. #1492	C₂²	semidirect
30. #1492	C₂²	semidirect
144. #117	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
#21209	2
C₈×#117	2
#17814	2
C₂×#1492	2
#9847	2
#9844	2