Subgroups — #20647

Order 256.

725 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 219 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#419	C₂	1	2	yes	maximal
4	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1805	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1803	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1736	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
12	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#423	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#419	—	2	8	no	—
25	C₂×#103	C₂²	1	8	yes	—
26	#384	C₂²	1	2	yes	—
27	#382	C₂²	1	2	yes	—
28	#380	—	2	1	no	—
29	#380	—	2	1	no	—
30	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
32	#340	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
35	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	—
39	C₂²×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
51	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
54	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#117	—	2	4	no	—
57	#117	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
81	#103	—	2	16	no	—
82	#95	—	2	2	no	—
83	#95	—	2	2	no	—
84	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
90	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
95	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	M₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₄²	—	2	8	no	—
137	C₄²	—	2	8	no	—
138	C₄²	—	4	4	no	—
139	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂³	—	2	2	no	—
146	C₂³	—	2	2	no	—
147	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂³	#121	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
150	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	Q₈	—	2	4	no	—
152	Q₈	—	2	4	no	—
153	Q₈	—	2	4	no	—
154	Q₈	—	2	16	no	—
155	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
179	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	#137	1	4	yes	—
183	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₈	—	4	4	no	—
190	C₂²	—	2	4	no	—
191	C₂²	—	2	2	no	—
192	C₂²	—	2	2	no	—
193	C₂²	—	2	4	no	—
194	C₂²	#380	1	4	yes	—
195	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₂×#137	1	2	yes	—
199	C₂²	#575	1	2	yes	—
200	C₄	—	2	2	no	—
201	C₄	—	2	2	no	—
202	C₄	—	2	2	no	—
203	C₄	—	2	8	no	—
204	C₄	—	4	4	no	—
205	C₄	—	8	4	no	—
206	C₄	#380	1	4	yes	—
207	C₄	#419	1	4	yes	complemented
208	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
210	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
211	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂	—	2	4	no	—
213	C₂	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
214	C₂	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
215	C₂	#2896	1	1	yes	characteristic
216	C₂	#3037	1	2	yes	—
217	C₂	#3078	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1805	C₂	semidirect
6. #1803	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
94. C₂×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
207. C₄	#419	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#423	2
C₂×#419	2
#2285	2
#1805	2
#1803	2
#1736	2