Subgroups — #206512

Order 512.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22008	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9593	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9556	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×D₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#442	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#442	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	#1954	C₂²	1	2	yes	—
17	#1954	C₂²	1	2	yes	—
18	#1939	C₂²	1	2	yes	—
19	#1939	C₂²	1	2	yes	—
20	#1923	—	2	2	no	—
21	#1923	—	2	2	no	—
22	#1817	—	2	2	no	—
23	#1797	—	2	2	no	—
24	#1776	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#1776	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#1762	C₄	1	2	yes	—
29	#1762	C₄	1	2	yes	—
30	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1279	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	#442	—	2	4	no	—
51	#442	C₈	1	8	yes	complemented
52	C₄×D₈	—	2	2	no	—
53	C₄×D₈	—	2	2	no	—
54	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#336	D₄	1	2	yes	—
94	#336	D₄	1	2	yes	—
95	#335	—	2	2	no	—
96	#334	—	2	2	no	—
97	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
98	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	#322	—	2	2	no	—
100	#322	—	2	2	no	—
101	C₈²	—	2	2	no	—
102	C₈²	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	—	2	2	no	—
127	C₄×D₄	—	2	2	no	—
128	C₄×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#107	—	2	2	no	—
146	#106	—	2	2	no	—
147	#106	C₂×C₈	1	4	yes	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
154	#102	—	2	4	no	—
155	#102	—	2	4	no	—
156	#102	C₂×C₈	1	8	yes	—
157	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
161	#97	—	2	2	no	—
162	#97	—	2	2	no	—
163	#97	C₂×C₈	1	4	yes	—
164	#97	M₁₆	1	4	yes	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	4	4	no	—
174	C₄×C₈	—	8	2	no	—
175	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	D₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	4	2	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₄²	—	8	2	no	—
256	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
258	C₄²	#131	1	2	yes	—
259	C₄²	#131	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	D₄	—	2	4	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	4	2	no	—
275	D₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	—	8	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
310	C₈	—	2	4	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	1	no	—
316	C₈	—	4	1	no	—
317	C₈	—	4	2	no	—
318	C₈	—	8	2	no	—
319	C₈	—	8	2	no	—
320	C₈	#431	1	4	yes	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	8	2	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2946	1	2	yes	—
332	C₂²	#2956	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2922	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2965	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#3173	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3179	1	2	yes	—
347	C₂	—	8	4	no	—
348	C₂	#17852	1	2	yes	—
349	C₂	#17893	1	2	yes	—
350	C₂	#21264	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#21290	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#21297	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22008	C₂	semidirect
5. #9596	C₂	semidirect
6. #9593	C₂	semidirect
7. #9556	C₂	semidirect
8. #9554	C₂	semidirect
9. #8275	C₂	semidirect
10. C₄×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
51. #442	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22008	2
C₄×#442	2
#9659	2
#9657	2
#9596	2
#9593	2
#9556	2
#9554	2
#8275	2
C₄×D₄⋊C₈	2
C₈×#97	2