Subgroups — #20661

Order 256.

795 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1809	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1808	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
11	C₂²×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
19	#428	—	2	8	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#381	—	2	1	no	—
23	#380	—	2	1	no	—
24	#380	—	2	1	no	—
25	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#380	C₂²	1	2	yes	—
27	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#380	C₂²	1	2	yes	—
29	#380	C₂²	1	2	yes	—
30	#379	—	2	1	no	—
31	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
33	C₂×#95	—	2	1	no	—
34	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂⁵	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
39	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
50	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	#117	—	2	4	no	—
60	#117	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
75	#107	—	2	8	no	—
76	#106	—	2	8	no	—
77	#95	—	2	2	no	—
78	#95	—	2	2	no	—
79	#95	—	2	1	no	—
80	#95	—	2	1	no	—
81	#95	—	2	2	no	—
82	C₂⁴	—	2	4	no	—
83	C₂⁴	—	2	2	no	—
84	C₂⁴	—	2	2	no	—
85	C₂⁴	—	4	2	no	—
86	C₂⁴	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	M₁₆	—	2	8	no	—
122	M₁₆	—	2	16	no	—
123	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
124	C₂×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂×C₈	—	2	16	no	—
126	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₄²	—	4	4	no	—
143	C₂³	—	2	2	no	—
144	C₂³	—	2	1	no	—
145	C₂³	—	2	1	no	—
146	C₂³	—	2	2	no	—
147	C₂³	—	2	2	no	—
148	C₂³	—	2	2	no	—
149	C₂³	—	2	1	no	—
150	C₂³	—	2	1	no	—
151	C₂³	—	2	2	no	—
152	C₂³	—	2	8	no	—
153	C₂³	—	2	8	no	—
154	C₂³	—	4	4	no	—
155	C₂³	—	4	8	no	—
156	C₂³	—	4	8	no	—
157	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂³	#121	1	4	yes	—
161	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
162	C₂³	#137	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄	—	8	8	no	—
185	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
196	C₈	—	2	4	no	—
197	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
198	C₂²	—	2	2	no	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	2	no	—
201	C₂²	—	2	2	no	—
202	C₂²	—	2	4	no	—
203	C₂²	—	2	4	no	—
204	C₂²	—	2	4	no	—
205	C₂²	—	2	4	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	4	16	no	—
210	C₂²	—	4	2	no	—
211	C₂²	—	4	2	no	—
212	C₂²	#380	1	4	yes	—
213	C₂²	#428	1	4	yes	complemented
214	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
216	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#575	1	2	yes	—
219	C₄	—	2	2	no	—
220	C₄	—	2	2	no	—
221	C₄	—	8	2	no	—
222	C₄	—	8	4	no	—
223	C₄	—	8	2	no	—
224	C₄	#380	1	4	yes	—
225	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
227	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
228	C₂	—	2	4	no	—
229	C₂	—	2	4	no	—
230	C₂	—	4	2	no	—
231	C₂	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
232	C₂	C₂×#428	1	1	yes	characteristic
233	C₂	#2911	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#3055	1	2	yes	—
235	C₂	#3056	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
5. #1809	C₂	semidirect
6. #1808	C₂	semidirect
7. #1807	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
11. C₂²×M₁₆	C₄	semidirect
20. C₂×#107	C₂²	semidirect
21. C₂×#106	C₂²	semidirect
34. #340	C₂²	semidirect
35. #340	C₂²	semidirect
53. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
56. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
123. M₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
197. C₈	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
213. C₂²	#428	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₁₆	2
C₂×#428	2
#2280	2
C₂×#380	2
#1809	2
#1808	2
#1807	2
#1736	2