Subgroups — #20678

Order 256.

665 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 243 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2896	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1742	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#131	—	2	4	no	—
10	C₂×#131	—	2	1	no	—
11	C₂×#131	—	2	1	no	—
12	C₂×#131	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
19	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#108	—	2	4	no	—
22	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#427	—	2	1	no	—
25	#427	—	2	1	no	—
26	#427	—	2	1	no	—
27	#427	—	2	1	no	—
28	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#419	—	2	2	no	—
31	#418	—	2	2	no	—
32	#417	C₂²	1	8	yes	—
33	#416	—	2	4	no	—
34	#343	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×#41	—	2	1	no	—
37	C₂×#41	—	2	1	no	—
38	C₂×#41	—	2	2	no	—
39	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×#41	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#131	—	2	8	no	—
49	#131	—	2	8	no	—
50	#131	—	2	4	no	—
51	#131	—	2	4	no	—
52	#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#117	—	2	2	no	—
79	#117	—	2	2	no	—
80	#117	—	2	2	no	—
81	#117	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
85	#108	—	2	4	no	—
86	#108	—	2	4	no	—
87	#107	—	2	2	no	—
88	#107	—	2	2	no	—
89	#106	—	2	2	no	—
90	#106	—	2	2	no	—
91	#103	—	2	8	no	—
92	#102	—	2	8	no	—
93	C₂⁴	—	2	1	no	—
94	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
95	#41	—	2	4	no	—
96	#41	—	2	4	no	—
97	#41	—	2	4	no	—
98	#41	—	2	4	no	—
99	#41	—	2	4	no	—
100	#41	—	2	2	no	—
101	#41	—	2	2	no	—
102	#41	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
103	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	M₁₆	—	2	4	no	—
134	M₁₆	—	2	2	no	—
135	M₁₆	—	2	8	no	—
136	M₁₆	—	2	8	no	—
137	M₁₆	—	2	4	no	—
138	M₁₆	—	2	4	no	—
139	M₁₆	—	4	4	no	—
140	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₄²	—	4	2	no	—
164	C₄²	—	4	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	4	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	4	4	no	—
169	C₂³	#117	1	2	yes	—
170	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
172	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
173	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
174	Q₈	—	2	2	no	—
175	Q₈	—	2	4	no	—
176	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
177	D₄	—	2	4	no	—
178	D₄	—	2	4	no	—
179	D₄	—	2	8	no	—
180	D₄	—	2	2	no	—
181	D₄	—	2	4	no	—
182	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄	—	8	4	no	—
190	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₈	—	2	4	no	—
209	C₈	—	4	4	no	—
210	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	—	2	2	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	—	4	2	no	—
220	C₂²	—	4	8	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	#380	1	2	yes	—
223	C₂²	#380	1	2	yes	—
224	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₄	—	2	4	no	—
228	C₄	—	8	4	no	—
229	C₄	#380	1	2	yes	—
230	C₄	#380	1	2	yes	—
231	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
234	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂	—	2	2	no	—
236	C₂	—	2	1	no	—
237	C₂	—	2	1	no	—
238	C₂	—	2	2	no	—
239	C₂	—	4	4	no	—
240	C₂	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
241	C₂	#3067	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#121
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#108	C₂	semidirect
3. C₂×#427	C₂	semidirect
5. #1816	C₂	semidirect
6. #1815	C₂	semidirect
7. #1742	C₂	semidirect
12. C₂×#131	C₄	semidirect
22. C₂×#108	C₂²	semidirect
23. C₂×#108	C₂²	semidirect
28. C₂×#107	C₂²	semidirect
29. C₂×#106	C₂²	semidirect
34. #343	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#131	2
C₂²×#108	2
C₂×#427	2
#2896	2
#1816	2
#1815	2
#1742	2