Subgroups — #206850

Order 512.

1052 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34938	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20793	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9874	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#7901	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#7893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#1279	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	—	2	1	no	—
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#424	—	2	1	no	—
13	C₂×#424	—	2	1	no	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2552	C₄	1	2	yes	—
18	#2551	C₄	1	2	yes	—
19	#2550	—	2	2	no	—
20	#2549	—	2	2	no	—
21	#2440	C₄	1	4	yes	—
22	#2399	—	2	2	no	—
23	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
24	#2296	—	2	1	no	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1843	—	2	2	no	—
29	#1842	C₂²	1	4	yes	—
30	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
32	#1744	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	#1279	C₂²	1	2	yes	—
35	#1279	C₂²	1	2	yes	—
36	#1279	C₂²	1	4	yes	—
37	#1279	C₂²	1	4	yes	—
38	#1279	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	#533	—	4	4	no	—
44	#533	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#431	—	2	2	no	—
57	#431	Q₈	1	4	yes	complemented
58	#424	—	4	4	no	—
59	#424	—	4	4	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#398	—	2	4	no	—
80	#398	—	2	4	no	—
81	#395	—	2	4	no	—
82	#395	—	2	4	no	—
83	#391	—	2	4	no	—
84	#389	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	4	no	—
87	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#385	—	2	4	no	—
90	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	1	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
107	#376	D₄	1	2	yes	—
108	C₂×#95	—	2	1	no	—
109	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
110	#336	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
132	#125	—	4	8	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
136	#117	—	4	2	no	—
137	#117	—	4	2	no	—
138	#117	D₈	1	4	yes	—
139	#117	SD₁₆	1	4	yes	—
140	#117	SD₁₆	1	4	yes	—
141	#117	Q₁₆	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	8	no	—
193	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
196	#95	—	2	1	no	—
197	#95	—	2	1	no	—
198	#95	—	2	2	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	—	2	2	no	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	M₁₆	—	8	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	8	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₄⋊C₄	#102	1	8	yes	—
265	C₄⋊C₄	#103	1	8	yes	—
266	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	#102	1	8	yes	—
269	C₂²⋊C₄	#103	1	8	yes	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₄²	#124	1	2	yes	—
284	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
286	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
288	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
289	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	#391	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	8	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	#391	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#391	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#391	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#102	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#103	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#486	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#487	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#498	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#500	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	8	2	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	#1990	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2880	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2901	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	8	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	#1990	1	4	yes	—
370	C₄	#2960	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2961	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2962	1	2	yes	—
373	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#487	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#500	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	#17507	1	2	yes	—
379	C₂	#17509	1	2	yes	—
380	C₂	#21304	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×#1990	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#21330	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #9874	C₂	semidirect
5. #9870	C₂	semidirect
57. #431	Q₈	semidirect
75. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34938	2
#20793	2
C₈×#117	2
#9874	2
#9870	2
#7901	2
#7897	2
#7893	2
C₂×#1279	2