Subgroups — #20723

Order 256.

689 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 238 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1799	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1782	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₄×#99	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₄×#41	—	2	2	no	—
9	C₄×#41	—	2	2	no	—
10	C₄×#41	—	2	2	no	—
11	C₄×#41	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#117	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#99	C₂²	1	8	yes	—
23	#383	—	2	2	no	—
24	#382	—	2	2	no	—
25	#381	C₂²	1	4	yes	—
26	#380	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	#376	—	2	2	no	—
30	#342	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#41	—	2	8	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	2	no	—
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	#117	—	2	2	no	—
56	#117	—	2	2	no	—
57	#117	—	2	4	no	—
58	#117	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
84	#99	—	2	16	no	—
85	#95	—	2	4	no	—
86	#95	—	2	4	no	—
87	#95	—	2	4	no	—
88	#95	—	2	4	no	—
89	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	#41	—	2	16	no	—
92	#41	—	2	16	no	—
93	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₄²	—	2	2	no	—
139	C₄²	—	2	2	no	—
140	C₄²	—	2	2	no	—
141	C₄²	—	2	2	no	—
142	C₄²	—	2	2	no	—
143	C₄²	—	2	2	no	—
144	C₄²	—	4	8	no	—
145	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	4	1	no	—
158	C₂³	—	4	1	no	—
159	C₂³	—	4	2	no	—
160	C₂³	—	4	2	no	—
161	C₂³	#117	1	4	yes	—
162	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
164	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
165	Q₈	—	2	8	no	—
166	D₄	—	2	8	no	—
167	D₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄	—	4	8	no	—
194	C₂×C₄	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	1	no	—
208	C₂²	—	2	1	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	4	4	no	—
213	C₂²	—	4	2	no	—
214	C₂²	—	4	2	no	—
215	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
217	C₂²	#525	1	4	yes	—
218	C₄	—	2	1	no	—
219	C₄	—	2	1	no	—
220	C₄	—	2	2	no	—
221	C₄	—	2	2	no	—
222	C₄	—	2	1	no	—
223	C₄	—	2	1	no	—
224	C₄	—	2	2	no	—
225	C₄	—	2	4	no	—
226	C₄	—	4	2	no	—
227	C₄	—	4	2	no	—
228	C₄	—	8	8	no	—
229	C₄	#410	1	2	yes	—
230	C₄	#410	1	2	yes	—
231	C₂	—	2	4	no	—
232	C₂	—	2	2	no	—
233	C₂	—	4	4	no	—
234	C₂	#2280	1	1	yes	characteristic
235	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
236	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2283	C₂	semidirect
3. #1820	C₂	semidirect
4. #1799	C₂	semidirect
6. C₄×#99	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
13. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
18. C₂×#117	C₄	semidirect
20. C₂²×C₄²	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
#2283	2
#1820	2
#1799	2
#1782	2
C₄×#99	2