Subgroups — #20822

Order 256.

405 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 198 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2314	C₂	1	2	yes	maximal
3	#1847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1809	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
19	#405	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#388	—	2	2	no	—
25	#388	—	2	2	no	—
26	#387	—	2	2	no	—
27	#387	—	2	2	no	—
28	#384	C₂²	1	2	yes	—
29	#382	C₂²	1	2	yes	—
30	#380	C₂²	1	2	yes	—
31	#380	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#117	Q₈	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#107	—	2	4	no	—
68	#107	—	2	4	no	—
69	#106	—	2	4	no	—
70	#106	—	2	4	no	—
71	#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#95	—	2	2	no	—
76	#95	—	2	2	no	—
77	#95	—	2	2	no	—
78	#95	—	2	2	no	—
79	#95	—	2	2	no	—
80	#95	—	2	2	no	—
81	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈	—	2	8	no	—
100	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
105	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
106	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
115	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
116	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
119	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
120	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₄²	—	8	2	no	—
123	C₄²	—	8	2	no	—
124	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂³	—	2	2	no	—
129	C₂³	—	2	1	no	—
130	C₂³	—	2	2	no	—
131	C₂³	—	2	1	no	—
132	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
165	C₈	—	2	2	no	—
166	C₈	—	2	2	no	—
167	C₈	#117	1	4	yes	—
168	C₈	#117	1	4	yes	—
169	C₂²	—	2	2	no	—
170	C₂²	—	2	2	no	—
171	C₂²	—	2	2	no	—
172	C₂²	—	4	2	no	—
173	C₂²	—	4	2	no	—
174	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²	#532	1	2	yes	—
176	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	#577	1	2	yes	—
178	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
179	C₄	—	2	2	no	—
180	C₄	—	2	2	no	—
181	C₄	—	2	2	no	—
182	C₄	—	2	2	no	—
183	C₄	—	2	2	no	—
184	C₄	—	8	2	no	—
185	C₄	—	8	2	no	—
186	C₄	—	8	2	no	—
187	C₄	—	8	2	no	—
188	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
189	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
190	C₄	#533	1	2	yes	—
191	C₂	—	4	2	no	—
192	C₂	#2285	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2912	1	1	yes	characteristic
194	C₂	#2913	1	1	yes	characteristic
195	C₂	#3178	1	2	yes	—
196	C₂	#3179	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1847	C₂	semidirect
4. #1835	C₂	semidirect
5. #1834	C₂	semidirect
9. #1776	C₂	semidirect
10. C₄×#107	C₂	semidirect
11. C₄×#106	C₂	semidirect
19. #405	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#405	2
#2314	2
#1847	2
#1835	2
#1834	2
#1809	2
#1808	2
#1807	2
#1776	2
C₄×#107	2
C₄×#106	2