Subgroups — #20837

Order 256.

823 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 210 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1851	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1850	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
10	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
18	#423	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#407	—	2	4	no	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₄	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
32	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₄	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
43	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
52	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
66	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
67	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂⁴	—	2	4	no	—
73	C₂⁴	—	2	4	no	—
74	C₂⁴	—	4	2	no	—
75	C₂⁴	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	M₁₆	—	2	16	no	—
110	M₁₆	—	2	16	no	—
111	M₁₆	—	4	4	no	—
112	M₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×C₈	—	2	16	no	—
114	C₂×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
124	C₄²	—	2	4	no	—
125	C₄²	—	2	4	no	—
126	C₄²	—	2	4	no	—
127	C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂³	—	2	2	no	—
129	C₂³	—	2	2	no	—
130	C₂³	—	2	2	no	—
131	C₂³	—	2	2	no	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	—	2	2	no	—
134	C₂³	—	2	2	no	—
135	C₂³	—	2	8	no	—
136	C₂³	—	2	8	no	—
137	C₂³	—	4	4	no	—
138	C₂³	—	4	16	no	—
139	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
144	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	4	16	no	—
162	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
167	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
168	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
169	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	complemented
170	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
174	C₈	—	2	8	no	—
175	C₈	—	4	2	no	—
176	C₈	—	4	2	no	—
177	C₂²	—	2	2	no	—
178	C₂²	—	2	2	no	—
179	C₂²	—	2	2	no	—
180	C₂²	—	2	8	no	—
181	C₂²	—	2	8	no	—
182	C₂²	—	2	2	no	—
183	C₂²	—	2	2	no	—
184	C₂²	—	2	2	no	—
185	C₂²	—	2	2	no	—
186	C₂²	—	4	16	no	—
187	C₂²	—	4	4	no	—
188	C₂²	#385	1	4	yes	—
189	C₂²	#423	1	4	yes	complemented
190	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
193	C₂²	#568	1	2	yes	—
194	C₄	—	2	8	no	—
195	C₄	—	2	2	no	—
196	C₄	—	2	2	no	—
197	C₄	—	4	4	no	—
198	C₄	#385	1	4	yes	—
199	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
200	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
201	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
202	C₂	—	2	4	no	—
203	C₂	—	2	4	no	—
204	C₂	—	4	2	no	—
205	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
206	C₂	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
207	C₂	#2905	1	1	yes	characteristic
208	C₂	D₄×M₁₆	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#423	C₂	semidirect
5. #1851	C₂	semidirect
6. #1850	C₂	semidirect
7. #1728	C₂	semidirect
19. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
29. #336	C₂²	semidirect
123. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect
169. C₂×C₄	C₂×M₁₆	semidirect
189. C₂²	#423	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₁₆	2
C₂×#423	2
C₂×#407	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1851	2
#1850	2
#1728	2