Subgroups — #20839

Order 256.

729 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1851	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1850	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#131	—	2	4	no	—
12	C₂×#131	—	2	4	no	—
13	C₂×#131	—	2	4	no	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#424	—	2	4	no	—
23	#423	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#408	—	2	4	no	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
29	#391	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#391	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
32	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#386	C₄	1	4	yes	—
34	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	#336	C₂²	1	2	yes	—
36	#336	C₂²	1	4	yes	—
37	#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#41	—	2	2	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×#41	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#131	—	2	32	no	—
51	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#117	—	2	2	no	—
75	#117	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
88	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
91	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#41	—	2	8	no	—
96	#41	—	2	8	no	—
97	#41	—	2	8	no	—
98	#41	—	2	8	no	—
99	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
107	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	M₁₆	—	2	16	no	—
131	M₁₆	—	2	8	no	—
132	M₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×C₈	—	2	16	no	—
134	C₂×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₄²	—	2	2	no	—
157	C₄²	—	2	2	no	—
158	C₄²	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	2	2	no	—
160	C₄²	—	2	2	no	—
161	C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	4	no	—
167	C₂³	—	2	4	no	—
168	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
171	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
172	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
173	Q₈	—	2	8	no	—
174	D₄	—	2	16	no	—
175	D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
200	C₂×C₄	#131	1	4	yes	complemented
201	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₈	—	2	2	no	—
208	C₈	—	2	4	no	—
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	4	2	no	—
211	C₈	—	4	2	no	—
212	C₂²	—	2	4	no	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	—	2	4	no	—
216	C₂²	—	2	8	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	—	4	2	no	—
220	C₂²	—	4	4	no	—
221	C₂²	#385	1	4	yes	—
222	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
226	C₂²	#568	1	2	yes	—
227	C₄	—	2	4	no	—
228	C₄	—	2	4	no	—
229	C₄	—	4	2	no	—
230	C₄	—	4	2	no	—
231	C₄	—	4	2	no	—
232	C₄	#385	1	4	yes	—
233	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
234	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
237	C₂	—	2	4	no	—
238	C₂	—	4	4	no	—
239	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#2906	1	2	yes	—
241	C₂	#2931	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#2932	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#2933	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#424	C₂	semidirect
3. C₂×#423	C₂	semidirect
6. #1851	C₂	semidirect
7. #1850	C₂	semidirect
8. #1729	C₂	semidirect
9. C₂×#336	C₂	semidirect
200. C₂×C₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#131	2
C₂×#424	2
C₂×#423	2
C₂×#408	2
#2297	2
#1851	2
#1850	2
#1729	2
C₂×#336	2