Subgroups — #20873

Order 256.

939 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1864	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1862	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#428	—	2	4	no	—
24	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#418	—	2	4	no	—
27	#418	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
31	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#385	—	2	1	no	—
34	#385	—	2	1	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂⁵	—	2	1	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂²×D₄	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
51	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄×D₄	—	2	16	no	—
63	C₄×D₄	—	2	8	no	—
64	C₄×D₄	—	2	8	no	—
65	#117	—	2	2	no	—
66	#117	—	2	2	no	—
67	#117	—	2	2	no	—
68	#117	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	#107	—	2	4	no	—
89	#106	—	2	4	no	—
90	#102	—	2	4	no	—
91	#102	—	2	4	no	—
92	#102	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
93	#95	—	2	2	no	—
94	#95	—	2	2	no	—
95	C₂⁴	—	2	4	no	—
96	C₂⁴	—	2	4	no	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	4	4	no	—
100	C₂⁴	—	4	4	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
112	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
126	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	M₁₆	—	2	8	no	—
140	M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
157	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₄²	—	2	4	no	—
162	C₄²	—	2	4	no	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	2	no	—
168	C₂³	—	2	4	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	16	no	—
172	C₂³	—	4	8	no	—
173	C₂³	—	4	16	no	—
174	C₂³	—	4	16	no	—
175	C₂³	—	4	8	no	—
176	C₂³	—	4	4	no	—
177	C₂³	—	4	4	no	—
178	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂³	#120	1	2	yes	—
180	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
181	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	D₄	—	2	4	no	—
183	D₄	—	2	4	no	—
184	D₄	—	2	4	no	—
185	D₄	—	2	16	no	—
186	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	32	no	—
196	C₂×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
212	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₈	—	2	4	no	—
220	C₈	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	2	4	no	—
222	C₂²	—	2	4	no	—
223	C₂²	—	2	2	no	—
224	C₂²	—	2	2	no	—
225	C₂²	—	2	8	no	—
226	C₂²	—	4	32	no	—
227	C₂²	—	4	8	no	—
228	C₂²	—	4	8	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	#385	1	4	yes	—
232	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
236	C₂²	#575	1	2	yes	—
237	C₄	—	2	4	no	—
238	C₄	—	4	4	no	—
239	C₄	—	4	4	no	—
240	C₄	—	4	2	no	—
241	C₄	—	8	1	no	—
242	C₄	—	8	1	no	—
243	C₄	#385	1	4	yes	—
244	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
248	C₂	—	2	4	no	—
249	C₂	—	4	8	no	—
250	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
251	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
252	C₂	#3003	1	1	yes	characteristic
253	C₂	#3005	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#3077	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
5. #2296	C₂	semidirect
6. #1864	C₂	semidirect
7. #1862	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1728	C₂	semidirect
24. C₂×#107	C₂²	semidirect
25. C₂×#106	C₂²	semidirect
27. #418	C₄	semidirect
31. #389	C₂²	semidirect
32. #389	C₂²	semidirect
36. #340	C₂²	semidirect
37. #336	C₂²	semidirect
59. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
68. #117	C₂×C₄	semidirect
92. #102	C₂×C₄	semidirect
111. C₂×D₄	C₄⋊C₄	semidirect
146. C₂×C₈	C₂²×C₄	semidirect
156. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#428	2
C₂×#418	2
#2296	2
#1864	2
#1862	2
#1736	2
#1728	2