Subgroups — #20874

Order 256.

723 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1865	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1863	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#428	—	2	4	no	—
24	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
26	#419	—	2	4	no	—
27	#419	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
31	#389	C₂²	1	2	yes	—
32	#389	C₂²	1	2	yes	—
33	#385	—	2	1	no	—
34	#385	—	2	1	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	#340	C₂²	1	4	yes	—
37	#336	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
60	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
62	#117	—	2	2	no	—
63	#117	—	2	2	no	—
64	#117	—	2	2	no	—
65	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	#107	—	2	4	no	—
88	#106	—	2	4	no	—
89	#103	—	2	4	no	—
90	#103	—	2	4	no	—
91	#103	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
92	#95	—	2	2	no	—
93	#95	—	2	2	no	—
94	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
105	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	M₁₆	—	2	8	no	—
133	M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₄²	—	2	16	no	—
155	C₄²	—	2	4	no	—
156	C₄²	—	2	4	no	—
157	C₄²	—	2	2	no	—
158	C₄²	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	4	2	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
163	C₂³	#120	1	2	yes	—
164	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
165	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	Q₈	—	2	4	no	—
167	Q₈	—	2	4	no	—
168	Q₈	—	2	4	no	—
169	Q₈	—	2	16	no	—
170	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	1	no	—
189	C₂×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	#137	1	4	yes	—
200	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₈	—	2	4	no	—
207	C₈	—	4	2	no	—
208	C₂²	—	2	4	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	—	2	2	no	—
212	C₂²	#385	1	4	yes	—
213	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂×#137	1	2	yes	—
217	C₂²	#575	1	2	yes	—
218	C₄	—	2	4	no	—
219	C₄	—	2	8	no	—
220	C₄	—	4	4	no	—
221	C₄	—	4	2	no	—
222	C₄	—	4	4	no	—
223	C₄	—	8	1	no	—
224	C₄	—	8	1	no	—
225	C₄	#385	1	4	yes	—
226	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
230	C₂	—	2	4	no	—
231	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
232	C₂	C₄×#137	1	2	yes	—
233	C₂	#3004	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#3005	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#3078	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #1865	C₂	semidirect
7. #1863	C₂	semidirect
27. #419	C₄	semidirect
91. #103	C₂×C₄	semidirect
104. C₂×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#428	2
C₂×#419	2
#2296	2
#1865	2
#1863	2
#1736	2
#1728	2