Subgroups — #20876

Order 256.

799 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 251 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1864	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1862	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#518	—	2	4	no	—
14	#518	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
24	#428	—	2	4	no	—
25	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#418	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#102	—	2	4	no	—
29	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
31	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#385	—	2	2	no	—
33	#384	—	2	1	no	—
34	#382	—	2	1	no	—
35	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂⁵	—	2	1	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂²×D₄	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₄×D₄	—	2	8	no	—
60	C₄×D₄	—	2	8	no	—
61	C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	#117	—	2	2	no	—
66	#117	—	2	2	no	—
67	#117	—	2	2	no	—
68	#117	—	2	2	no	—
69	#117	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#117	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	#107	—	2	4	no	—
91	#106	—	2	4	no	—
92	#102	—	2	8	no	—
93	#102	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
94	#95	—	2	4	no	—
95	C₂⁴	—	2	2	no	—
96	C₂⁴	—	2	4	no	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	4	no	—
99	C₂⁴	—	8	2	no	—
100	C₂⁴	—	8	2	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
112	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
152	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄²	—	2	4	no	—
161	C₄²	—	2	4	no	—
162	C₄²	—	2	2	no	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	4	no	—
167	C₂³	—	2	4	no	—
168	C₂³	—	2	4	no	—
169	C₂³	—	2	16	no	—
170	C₂³	—	4	4	no	—
171	C₂³	—	4	4	no	—
172	C₂³	—	8	8	no	—
173	C₂³	—	8	8	no	—
174	C₂³	—	8	4	no	—
175	C₂³	—	8	4	no	—
176	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
177	C₂³	#120	1	2	yes	—
178	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
179	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	D₄	—	2	4	no	—
181	D₄	—	2	4	no	—
182	D₄	—	2	4	no	—
183	D₄	—	2	16	no	—
184	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂×C₄	—	8	8	no	—
199	C₂×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂×C₄	—	8	4	no	—
201	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
206	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₈	—	2	4	no	—
215	C₈	—	4	2	no	—
216	C₂²	—	2	4	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	2	8	no	—
221	C₂²	—	4	8	no	—
222	C₂²	—	4	8	no	—
223	C₂²	—	4	4	no	—
224	C₂²	—	4	4	no	—
225	C₂²	—	8	16	no	—
226	C₂²	#385	1	4	yes	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	#576	1	2	yes	—
231	C₂²	#577	1	2	yes	—
232	C₄	—	4	4	no	—
233	C₄	—	4	2	no	—
234	C₄	—	4	2	no	—
235	C₄	—	4	2	no	—
236	C₄	—	4	2	no	—
237	C₄	—	8	2	no	—
238	C₄	#385	1	4	yes	—
239	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
243	C₂	—	2	4	no	—
244	C₂	—	4	8	no	—
245	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#2946	1	2	yes	—
247	C₂	#3008	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#3009	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#3081	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
5. #2317	C₂	semidirect
6. #1864	C₂	semidirect
7. #1862	C₂	semidirect
8. #1735	C₂	semidirect
9. #1729	C₂	semidirect
25. C₂×#107	C₂²	semidirect
26. C₂×#106	C₂²	semidirect
27. #418	C₄	semidirect
31. #389	C₂²	semidirect
35. #340	C₂²	semidirect
36. #340	C₂²	semidirect
37. #336	C₂²	semidirect
53. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
69. #117	C₂×C₄	semidirect
93. #102	C₂×C₄	semidirect
111. C₂×D₄	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#518	2
C₂×#428	2
C₂×#418	2
C₂²×#102	2
#2317	2
#1864	2
#1862	2
#1735	2
#1729	2