Subgroups — #20885

Order 256.

679 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1866	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#568	—	2	4	no	—
11	#568	—	2	4	no	—
12	C₂×#131	—	2	2	no	—
13	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#430	—	2	4	no	—
22	C₂×#108	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#424	—	2	2	no	—
24	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#423	—	2	2	no	—
26	C₂×#104	—	2	4	no	—
27	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
28	#419	C₄	1	2	yes	complemented
29	#418	C₄	1	2	yes	complemented
30	#417	C₄	1	4	yes	complemented
31	#416	C₂²	1	4	yes	—
32	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#41	—	2	1	no	—
35	C₂×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×#41	—	2	1	no	—
37	C₂×#41	—	2	2	no	—
38	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
40	C₂×#41	Q₈	1	4	yes	—
41	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#131	—	2	16	no	—
49	#131	—	2	8	no	—
50	#131	—	2	8	no	—
51	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	#117	—	2	1	no	—
75	#117	—	2	1	no	—
76	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	#108	—	2	8	no	—
86	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
87	#104	—	2	8	no	—
88	#103	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	C₂⁴	—	2	1	no	—
91	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
92	#41	—	2	4	no	—
93	#41	—	2	4	no	—
94	#41	—	2	4	no	—
95	#41	—	2	4	no	—
96	#41	—	2	4	no	—
97	#41	—	2	2	no	—
98	#41	—	2	2	no	—
99	#41	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
100	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	M₁₆	—	2	16	no	—
134	M₁₆	—	2	4	no	—
135	M₁₆	—	2	4	no	—
136	M₁₆	—	2	4	no	—
137	M₁₆	—	2	4	no	—
138	M₁₆	—	2	4	no	—
139	M₁₆	—	2	2	no	—
140	M₁₆	—	2	2	no	—
141	M₁₆	—	2	2	no	—
142	M₁₆	—	4	2	no	—
143	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₈	—	2	16	no	—
145	C₂×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	2	2	no	—
160	C₄²	—	2	2	no	—
161	C₄²	—	2	2	no	—
162	C₄²	—	2	2	no	—
163	C₄²	—	4	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	4	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	8	2	no	—
168	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
171	C₂³	#123	1	2	yes	—
172	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	Q₈	—	2	2	no	—
174	Q₈	—	2	4	no	—
175	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
176	D₄	—	2	4	no	—
177	D₄	—	2	4	no	—
178	D₄	—	2	8	no	—
179	D₄	—	2	2	no	—
180	D₄	—	2	4	no	—
181	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	8	2	no	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₈	—	2	4	no	—
212	C₈	—	2	4	no	—
213	C₈	—	2	4	no	—
214	C₈	—	4	2	no	—
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	—	2	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	4	no	—
219	C₂²	—	4	2	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	—	8	4	no	—
223	C₂²	#385	1	2	yes	—
224	C₂²	#385	1	2	yes	—
225	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
228	C₄	—	2	4	no	—
229	C₄	—	4	4	no	—
230	C₄	—	4	4	no	—
231	C₄	#385	1	2	yes	—
232	C₄	#385	1	2	yes	—
233	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
236	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂	—	2	1	no	—
238	C₂	—	2	2	no	—
239	C₂	—	2	1	no	—
240	C₂	—	2	2	no	—
241	C₂	—	4	4	no	—
242	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#2956	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#430	C₂	semidirect
3. #2905	C₂	semidirect
6. #1866	C₂	semidirect
7. C₂×#339	C₂	semidirect
8. #1728	C₂	semidirect
22. C₂×#108	C₂²	semidirect
24. #424	C₂²	semidirect
28. #419	C₄	semidirect
29. #418	C₄	semidirect
30. #417	C₄	semidirect
32. #339	C₂²	semidirect
33. #336	C₂²	semidirect
88. #103	C₂×C₄	semidirect
89. #102	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
C₂×#430	2
#2905	2
C₂²×#104	2
#2896	2
#1866	2
C₂×#339	2
#1728	2