Subgroups — #20900

Order 256.

927 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 293 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1869	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#131	—	2	4	no	—
13	C₂×#131	—	2	4	no	—
14	C₂×#131	—	2	4	no	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#532	—	2	4	no	—
22	#532	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#121	C₄	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#408	—	2	4	no	—
31	#408	—	2	4	no	—
32	#408	—	2	4	no	—
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#336	C₂²	1	2	yes	—
38	#336	C₂²	1	4	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	2	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#131	—	2	32	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
72	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
82	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
88	#127	—	2	4	no	—
89	#124	—	2	4	no	—
90	#124	—	2	4	no	—
91	#121	—	2	16	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#41	—	2	8	no	—
110	#41	—	2	8	no	—
111	#41	—	2	8	no	—
112	#41	—	2	8	no	—
113	#41	—	4	4	no	—
114	#41	—	4	4	no	—
115	#41	—	4	4	no	—
116	#41	—	4	4	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	M₁₆	—	2	16	no	—
166	M₁₆	—	2	8	no	—
167	M₁₆	—	4	4	no	—
168	C₂×C₈	—	2	16	no	—
169	C₂×C₈	—	2	8	no	—
170	C₂×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₄²	—	2	2	no	—
190	C₄²	—	2	2	no	—
191	C₄²	—	2	2	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
207	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	Q₈	—	2	8	no	—
210	Q₈	—	4	4	no	—
211	D₄	—	2	16	no	—
212	D₄	—	2	8	no	—
213	D₄	—	4	16	no	—
214	D₄	—	4	8	no	—
215	D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
242	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	#131	1	4	yes	complemented
244	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₈	—	2	2	no	—
251	C₈	—	2	4	no	—
252	C₈	—	2	2	no	—
253	C₈	—	4	2	no	—
254	C₈	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	—	2	2	no	—
257	C₂²	—	2	2	no	—
258	C₂²	—	2	4	no	—
259	C₂²	—	2	8	no	—
260	C₂²	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	4	2	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	4	no	—
265	C₂²	—	4	2	no	—
266	C₂²	—	4	2	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	#386	1	4	yes	—
270	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
274	C₂²	#568	1	2	yes	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	#386	1	4	yes	—
280	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
281	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
282	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
283	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
284	C₂	—	2	4	no	—
285	C₂	—	4	4	no	—
286	C₂	—	8	2	no	—
287	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#2880	1	2	yes	—
289	C₂	#2931	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#2932	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#2935	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#131	C₂	semidirect
3. C₂×#408	C₂	semidirect
4. C₂×#408	C₂	semidirect
5. C₂×#408	C₂	semidirect
6. #1870	C₂	semidirect
7. #1869	C₂	semidirect
8. #1728	C₂	semidirect
9. C₂×#336	C₂	semidirect
72. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
81. C₂²×C₈	D₄	semidirect
243. C₂×C₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#131	2
C₂×#532	2
C₂×#408	2
#1870	2
#1869	2
#1728	2
C₂×#336	2