Subgroups — #20903

Order 256.

891 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1871	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#1733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#568	—	2	4	no	—
12	#568	—	2	4	no	—
13	C₂×#131	—	2	2	no	—
14	C₂×#131	—	2	2	no	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#537	C₄	1	4	yes	complemented
19	#536	—	2	1	no	—
20	#536	C₄	1	2	yes	complemented
21	#535	—	2	1	no	—
22	#535	C₄	1	2	yes	complemented
23	#534	—	2	2	no	—
24	#532	—	2	2	no	—
25	#525	—	2	2	no	—
26	#525	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#421	—	2	4	no	—
31	C₂×#104	—	2	4	no	—
32	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
34	#391	—	2	1	no	—
35	#390	—	2	1	no	—
36	#386	—	2	2	no	—
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	1	no	—
43	C₂×#41	—	2	1	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	2	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#131	—	2	16	no	—
67	#131	—	2	16	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
75	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
76	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
82	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
83	#127	—	2	2	no	—
84	#124	—	2	2	no	—
85	#124	—	2	2	no	—
86	#123	—	2	4	no	—
87	#123	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	#121	—	2	4	no	—
91	#121	—	2	8	no	—
92	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	#120	—	2	4	no	—
94	#120	—	2	4	no	—
95	C₄×D₄	—	2	8	no	—
96	#117	—	2	1	no	—
97	#117	—	2	1	no	—
98	#117	—	2	2	no	—
99	#117	—	2	2	no	—
100	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#117	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
113	#104	—	2	8	no	—
114	#104	—	2	8	no	—
115	#95	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	#41	—	2	4	no	—
120	#41	—	2	4	no	—
121	#41	—	2	4	no	—
122	#41	—	2	4	no	—
123	#41	—	2	4	no	—
124	#41	—	2	4	no	—
125	#41	—	2	4	no	—
126	#41	—	2	4	no	—
127	#41	—	2	4	no	—
128	#41	—	2	4	no	—
129	#41	—	2	2	no	—
130	#41	—	2	2	no	—
131	#41	—	2	2	no	—
132	#41	—	2	2	no	—
133	#41	—	4	2	no	—
134	#41	—	4	2	no	—
135	#41	—	4	2	no	—
136	#41	—	4	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	1	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	M₁₆	—	2	16	no	—
190	M₁₆	—	2	4	no	—
191	M₁₆	—	2	4	no	—
192	M₁₆	—	2	2	no	—
193	M₁₆	—	2	2	no	—
194	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₈	—	2	16	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	4	2	no	—
222	C₂³	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	—	8	2	no	—
225	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	#121	1	2	yes	—
229	C₂³	#121	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	2	4	no	—
232	Q₈	—	2	4	no	—
233	Q₈	—	2	2	no	—
234	Q₈	—	2	2	no	—
235	Q₈	—	4	2	no	—
236	D₄	—	2	8	no	—
237	D₄	—	2	8	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	—	2	2	no	—
240	D₄	—	2	4	no	—
241	D₄	—	2	4	no	—
242	D₄	—	4	2	no	—
243	D₄	—	4	2	no	—
244	D₄	—	4	4	no	—
245	D₄	—	4	2	no	—
246	D₄	—	8	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	2	4	no	—
286	C₈	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	8	2	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	#386	1	2	yes	—
300	C₂²	#386	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	4	4	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	#386	1	2	yes	—
310	C₄	#386	1	2	yes	—
311	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
314	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
315	C₂	—	2	1	no	—
316	C₂	—	2	1	no	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	2	2	no	—
319	C₂	—	4	4	no	—
320	C₂	—	8	2	no	—
321	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#2901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#568	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂²×#104	C₂	semidirect
5. #2297	C₂	semidirect
6. #1871	C₂	semidirect
7. #1733	C₂	semidirect
8. C₂×#339	C₂	semidirect
17. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
18. #537	C₄	semidirect
20. #536	C₄	semidirect
22. #535	C₄	semidirect
37. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
38. #339	C₂²	semidirect
39. #339	C₂²	semidirect
75. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
76. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
89. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
92. #121	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
#3449	2
C₂×#421	2
C₂²×#104	2
#2297	2
#1871	2
#1733	2
C₂×#339	2