Subgroups — #20915

Order 256.

921 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1872	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#537	—	2	4	no	—
17	#537	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	—	2	1	no	—
21	C₂×#121	—	2	2	no	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	#520	—	2	4	no	—
24	#520	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#417	—	2	4	no	—
34	#416	—	2	4	no	—
35	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
41	#408	—	2	4	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	#340	C₂²	1	2	yes	—
47	#340	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	—	2	2	no	—
57	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
70	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	#121	—	2	8	no	—
86	#121	—	2	16	no	—
87	#121	—	2	4	no	—
88	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₄×D₄	—	2	16	no	—
91	C₄×D₄	—	2	8	no	—
92	#117	—	2	2	no	—
93	#117	—	2	4	no	—
94	#117	—	2	4	no	—
95	#117	D₄	1	4	yes	complemented
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
105	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	#103	—	2	2	no	—
117	#103	—	2	2	no	—
118	#103	—	2	4	no	—
119	#102	—	2	2	no	—
120	#102	—	2	2	no	—
121	#102	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
124	C₂⁴	—	2	1	no	—
125	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	#41	—	2	8	no	—
128	#41	—	2	8	no	—
129	#41	—	2	8	no	—
130	#41	—	2	8	no	—
131	#41	—	2	8	no	—
132	#41	—	2	8	no	—
133	#41	—	4	4	no	—
134	#41	—	4	4	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	1	no	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	2	1	no	—
153	C₂×D₄	—	2	1	no	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	8	2	no	—
158	C₂×D₄	—	8	2	no	—
159	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
183	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	M₁₆	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄²	—	2	8	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	1	no	—
225	C₂³	—	2	1	no	—
226	C₂³	—	2	1	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	4	1	no	—
236	C₂³	—	4	1	no	—
237	C₂³	—	4	1	no	—
238	C₂³	—	4	1	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂³	#120	1	2	yes	—
243	C₂³	#123	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	2	8	no	—
246	Q₈	—	2	2	no	—
247	Q₈	—	2	2	no	—
248	Q₈	—	4	1	no	—
249	Q₈	—	4	1	no	—
250	D₄	—	2	16	no	—
251	D₄	—	2	2	no	—
252	D₄	—	2	2	no	—
253	D₄	—	2	8	no	—
254	D₄	—	4	8	no	—
255	D₄	—	4	1	no	—
256	D₄	—	4	1	no	—
257	D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	4	1	no	—
298	C₈	—	4	1	no	—
299	C₈	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	8	1	no	—
317	C₂²	—	8	1	no	—
318	C₂²	—	8	1	no	—
319	C₂²	—	8	1	no	—
320	C₂²	#386	1	4	yes	—
321	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	#386	1	4	yes	—
335	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	—	8	2	no	—
342	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3012	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3013	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#3098	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#3099	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#537	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#416	C₂	semidirect
5. C₂×#408	C₂	semidirect
6. #1875	C₂	semidirect
7. #1874	C₂	semidirect
8. #1873	C₂	semidirect
9. #1872	C₂	semidirect
10. #1736	C₂	semidirect
11. C₂×#340	C₂	semidirect
17. #537	C₄	semidirect
58. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
84. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
88. #121	C₂×C₄	semidirect
95. #117	D₄	semidirect
104. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
105. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#537	2
C₂×#520	2
C₂×#417	2
C₂×#416	2
C₂×#408	2
#1875	2
#1874	2
#1873	2
#1872	2
#1736	2
C₂×#340	2