Subgroups — #20919

Order 256.

841 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1876	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#135	—	2	4	no	—
12	C₂×#135	—	2	4	no	—
13	C₂×#135	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂²×SD₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂²×SD₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#568	—	2	4	no	—
20	#568	—	2	4	no	—
21	C₂×#131	—	2	2	no	—
22	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#421	—	2	4	no	—
30	#421	—	2	4	no	—
31	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#408	—	2	2	no	—
34	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#407	—	2	2	no	—
36	#341	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	1	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	1	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	2	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#135	—	2	16	no	—
64	#135	—	2	8	no	—
65	#135	—	2	8	no	—
66	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
67	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×D₈	—	2	4	no	—
73	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#131	—	2	16	no	—
75	#131	—	2	8	no	—
76	#131	—	2	8	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#117	—	2	2	no	—
102	#117	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
106	#104	—	2	8	no	—
107	#104	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
109	C₂⁴	—	2	1	no	—
110	C₂⁴	—	2	1	no	—
111	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
112	#41	—	2	4	no	—
113	#41	—	2	4	no	—
114	#41	—	2	4	no	—
115	#41	—	2	4	no	—
116	#41	—	2	4	no	—
117	#41	—	2	2	no	—
118	#41	—	2	2	no	—
119	#41	—	2	4	no	—
120	#41	—	2	4	no	—
121	#41	—	2	2	no	—
122	#41	—	2	2	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	4	2	no	—
126	#41	—	4	2	no	—
127	#41	—	4	2	no	—
128	#41	—	4	2	no	—
129	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
130	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	1	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	Q₁₆	—	2	8	no	—
178	SD₁₆	—	2	8	no	—
179	SD₁₆	—	2	8	no	—
180	D₈	—	2	8	no	—
181	M₁₆	—	2	16	no	—
182	M₁₆	—	2	4	no	—
183	M₁₆	—	2	4	no	—
184	M₁₆	—	2	4	no	—
185	M₁₆	—	2	2	no	—
186	M₁₆	—	2	2	no	—
187	M₁₆	—	2	2	no	—
188	M₁₆	—	4	2	no	—
189	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₈	—	2	16	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄²	—	2	2	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	8	2	no	—
215	C₂³	—	8	2	no	—
216	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂³	#121	1	2	yes	—
219	C₂³	#123	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	—	2	4	no	—
223	Q₈	—	2	2	no	—
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	4	2	no	—
226	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
227	D₄	—	2	4	no	—
228	D₄	—	2	4	no	—
229	D₄	—	2	8	no	—
230	D₄	—	2	2	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	2	2	no	—
233	D₄	—	2	4	no	—
234	D₄	—	4	2	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	4	4	no	—
237	D₄	—	4	2	no	—
238	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₈	—	2	2	no	—
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	2	4	no	—
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₈	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	4	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	8	4	no	—
284	C₂²	—	8	4	no	—
285	C₂²	#386	1	2	yes	—
286	C₂²	#386	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	#386	1	2	yes	—
294	C₄	#386	1	2	yes	—
295	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
298	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂	—	2	1	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	2	1	no	—
302	C₂	—	2	2	no	—
303	C₂	—	4	4	no	—
304	C₂	—	8	2	no	—
305	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#2957	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂×#421	C₂	semidirect
5. #2879	C₂	semidirect
6. #1876	C₂	semidirect
7. C₂×#341	C₂	semidirect
8. #1729	C₂	semidirect
13. C₂×#135	C₄	semidirect
15. C₂²×Q₁₆	C₄	semidirect
16. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
17. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
18. C₂²×D₈	C₄	semidirect
22. C₂×#131	C₂²	semidirect
31. C₂×#104	C₂²	semidirect
32. C₂×#104	C₂²	semidirect
34. #408	C₂²	semidirect
36. #341	C₂²	semidirect
37. #336	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂×#568	2
C₂×#421	2
#2879	2
#1876	2
C₂×#341	2
#1729	2