Subgroups — #20924

Order 256.

929 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1878	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1877	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#135	—	2	4	no	—
15	C₂×#135	—	2	4	no	—
16	C₂×#135	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#41	—	2	4	no	—
24	C₄×#41	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	—	2	1	no	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#416	—	2	4	no	—
34	#416	—	2	4	no	—
35	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
39	#391	C₂²	1	2	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#386	—	2	2	no	—
42	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	#336	C₂²	1	2	yes	—
47	#336	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#135	—	2	32	no	—
72	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
81	C₂×D₈	—	2	2	no	—
82	C₂×D₈	—	2	2	no	—
83	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
90	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₄×D₄	—	2	16	no	—
96	C₄×D₄	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	2	4	no	—
98	#117	—	2	8	no	—
99	#117	—	2	2	no	—
100	#117	—	2	2	no	—
101	#117	—	2	2	no	—
102	#117	D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	#103	—	2	4	no	—
121	#103	—	2	4	no	—
122	#102	—	2	4	no	—
123	#102	—	2	4	no	—
124	#95	—	2	2	no	—
125	#95	—	2	2	no	—
126	C₂⁴	—	2	1	no	—
127	C₂⁴	—	2	1	no	—
128	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	#41	—	2	8	no	—
130	#41	—	2	8	no	—
131	#41	—	2	8	no	—
132	#41	—	2	8	no	—
133	#41	—	2	8	no	—
134	#41	—	4	4	no	—
135	#41	—	4	4	no	—
136	#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	1	no	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	—	2	1	no	—
156	C₂×D₄	—	2	1	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	—	2	1	no	—
160	C₂×D₄	—	2	1	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	Q₁₆	—	2	8	no	—
194	SD₁₆	—	2	8	no	—
195	SD₁₆	—	2	8	no	—
196	D₈	—	2	8	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄²	—	2	8	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	1	no	—
234	C₂³	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂³	#120	1	2	yes	—
239	C₂³	#121	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	2	2	no	—
242	Q₈	—	2	2	no	—
243	Q₈	—	2	2	no	—
244	Q₈	—	2	2	no	—
245	Q₈	—	2	2	no	—
246	Q₈	—	4	1	no	—
247	Q₈	—	4	1	no	—
248	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	D₄	—	2	16	no	—
250	D₄	—	2	2	no	—
251	D₄	—	2	2	no	—
252	D₄	—	2	2	no	—
253	D₄	—	2	2	no	—
254	D₄	—	2	2	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	4	1	no	—
257	D₄	—	4	1	no	—
258	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#135	1	4	yes	complemented
288	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	8	2	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	#386	1	4	yes	—
312	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
316	C₂²	#575	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	8	2	no	—
323	C₄	#386	1	4	yes	—
324	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	—	4	4	no	—
330	C₂	—	8	2	no	—
331	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#2943	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#3002	1	2	yes	—
335	C₂	#3035	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
3. C₂×#416	C₂	semidirect
4. C₂×#416	C₂	semidirect
5. #2297	C₂	semidirect
6. #1880	C₂	semidirect
7. #1879	C₂	semidirect
8. #1878	C₂	semidirect
9. #1877	C₂	semidirect
10. #1735	C₂	semidirect
11. C₂×#336	C₂	semidirect
16. C₂×#135	C₄	semidirect
57. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
74. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
79. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
83. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
89. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
136. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
287. C₂×C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂×C₄×#41	2
C₂×#416	2
#2297	2
#1880	2
#1879	2
#1878	2
#1877	2
#1735	2
C₂×#336	2