Subgroups — #20925

Order 256.

1117 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1879	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1877	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#418	—	2	4	no	—
29	#417	—	2	4	no	—
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#386	—	2	1	no	—
36	#386	—	2	1	no	—
37	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
38	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂⁵	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
55	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
63	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
67	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×D₈	—	2	4	no	—
71	C₂×D₈	—	2	4	no	—
72	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×D₄	—	2	16	no	—
82	C₄×D₄	—	2	8	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
101	#103	—	2	4	no	—
102	#102	—	2	8	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	#95	—	2	2	no	—
105	#95	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	2	4	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	1	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	—	4	4	no	—
113	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	#41	—	2	8	no	—
115	#41	—	2	8	no	—
116	#41	—	4	4	no	—
117	#41	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	complemented
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
142	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	complemented
144	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	SD₁₆	—	2	16	no	—
173	D₈	—	2	16	no	—
174	M₁₆	—	2	8	no	—
175	M₁₆	—	4	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	16	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	4	8	no	—
203	C₂³	—	4	16	no	—
204	C₂³	—	4	8	no	—
205	C₂³	—	4	16	no	—
206	C₂³	—	4	4	no	—
207	C₂³	—	4	4	no	—
208	C₂³	—	4	1	no	—
209	C₂³	—	4	1	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂³	#120	1	2	yes	—
214	C₂³	#121	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	—	2	2	no	—
217	Q₈	—	2	2	no	—
218	Q₈	—	4	1	no	—
219	Q₈	—	4	1	no	—
220	D₄	—	2	2	no	—
221	D₄	—	2	4	no	—
222	D₄	—	2	2	no	—
223	D₄	—	2	4	no	—
224	D₄	—	2	4	no	—
225	D₄	—	2	16	no	—
226	D₄	—	4	8	no	—
227	D₄	—	4	1	no	—
228	D₄	—	4	1	no	—
229	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
256	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₈	—	2	4	no	—
263	C₈	—	4	2	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	4	32	no	—
270	C₂²	—	4	8	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	8	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	8	1	no	—
277	C₂²	—	8	1	no	—
278	C₂²	—	8	2	no	—
279	C₂²	#386	1	4	yes	—
280	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
284	C₂²	#575	1	2	yes	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	8	2	no	—
290	C₄	#386	1	4	yes	—
291	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
294	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
295	C₂	—	2	4	no	—
296	C₂	—	4	8	no	—
297	C₂	—	8	2	no	—
298	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
299	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
300	C₂	#3003	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#3005	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3036	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#418	C₂	semidirect
5. #2297	C₂	semidirect
6. #1879	C₂	semidirect
7. #1877	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1728	C₂	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
30. C₂×#103	C₂²	semidirect
32. C₂×#102	C₂²	semidirect
33. #391	C₂²	semidirect
34. #390	C₂²	semidirect
38. #340	C₂²	semidirect
39. #336	C₂²	semidirect
46. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
123. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
141. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect
143. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
181. C₂×C₈	C₂²×C₄	semidirect
255. C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#417	2
C₂×#418	2
#2297	2
#1879	2
#1877	2
#1736	2
#1728	2