Subgroups — #20928

Order 256.

1023 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1879	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#41	—	2	4	no	—
20	C₄×#41	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#117	—	2	1	no	—
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#418	—	2	4	no	—
31	#417	—	2	4	no	—
32	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#390	—	2	1	no	—
36	#390	—	2	1	no	—
37	#390	C₂²	1	4	yes	—
38	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂⁵	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
61	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
64	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×D₈	—	2	4	no	—
68	C₂×D₈	—	2	4	no	—
69	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
79	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₄×D₄	—	2	16	no	—
81	C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	C₄×D₄	—	2	4	no	—
83	#117	—	2	8	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
105	#103	—	2	4	no	—
106	#102	—	2	4	no	—
107	#102	—	2	8	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	4	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	—	4	4	no	—
113	C₂⁴	—	4	2	no	—
114	C₂⁴	—	4	2	no	—
115	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	#41	—	2	8	no	—
117	#41	—	2	8	no	—
118	#41	—	2	8	no	—
119	#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
120	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	1	no	—
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂×D₄	—	4	4	no	—
142	C₂×D₄	—	4	2	no	—
143	C₂×D₄	—	4	4	no	—
144	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	SD₁₆	—	2	16	no	—
173	D₈	—	2	16	no	—
174	M₁₆	—	2	8	no	—
175	M₁₆	—	4	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₄²	—	2	8	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	2	4	no	—
195	C₄²	—	2	2	no	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	4	16	no	—
205	C₂³	—	4	2	no	—
206	C₂³	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	4	2	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	4	no	—
211	C₂³	—	4	8	no	—
212	C₂³	—	8	8	no	—
213	C₂³	—	8	4	no	—
214	C₂³	—	8	4	no	—
215	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂³	#120	1	2	yes	—
217	C₂³	#121	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	2	2	no	—
220	Q₈	—	2	2	no	—
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
223	D₄	—	2	16	no	—
224	D₄	—	2	4	no	—
225	D₄	—	2	2	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	2	2	no	—
228	D₄	—	2	2	no	—
229	D₄	—	4	2	no	—
230	D₄	—	4	2	no	—
231	D₄	—	4	8	no	—
232	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
258	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₈	—	2	4	no	—
265	C₈	—	4	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	8	16	no	—
278	C₂²	—	8	4	no	—
279	C₂²	—	8	2	no	—
280	C₂²	—	8	2	no	—
281	C₂²	#386	1	4	yes	—
282	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
286	C₂²	#575	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	8	2	no	—
292	C₄	#386	1	4	yes	—
293	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
296	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
297	C₂	—	2	4	no	—
298	C₂	—	4	4	no	—
299	C₂	—	8	4	no	—
300	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
302	C₂	#3006	1	2	yes	—
303	C₂	#3038	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3040	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#418	C₂	semidirect
5. C₂×#390	C₂	semidirect
6. #1880	C₂	semidirect
7. #1879	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1728	C₂	semidirect
14. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
21. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#103	C₂²	semidirect
34. C₂×#102	C₂²	semidirect
38. #340	C₂²	semidirect
39. #336	C₂²	semidirect
55. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
119. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
222. Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
232. D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
257. C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×C₄×#41	2
C₂×#417	2
C₂×#418	2
C₂×#390	2
#1880	2
#1879	2
#1736	2
#1728	2