Subgroups — #20929

Order 256.

977 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1879	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1877	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#518	—	2	4	no	—
20	#518	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
27	#416	—	2	4	no	—
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#102	—	2	4	no	—
30	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#386	—	2	2	no	—
35	#380	—	2	2	no	—
36	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂⁵	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
45	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
61	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×D₈	—	2	4	no	—
65	C₂×D₈	—	2	4	no	—
66	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄×D₄	—	2	16	no	—
76	C₄×D₄	—	2	8	no	—
77	C₄×D₄	—	2	8	no	—
78	#117	—	2	2	no	—
79	#117	—	2	2	no	—
80	#117	—	2	2	no	—
81	#117	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	#103	—	2	4	no	—
96	#102	—	2	8	no	—
97	#102	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	4	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	4	no	—
101	C₂⁴	—	2	4	no	—
102	C₂⁴	—	2	4	no	—
103	C₂⁴	—	2	1	no	—
104	C₂⁴	—	8	2	no	—
105	C₂⁴	—	8	2	no	—
106	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	#41	—	2	8	no	—
108	#41	—	2	8	no	—
109	#41	—	4	4	no	—
110	#41	—	4	4	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂×D₄	—	2	1	no	—
132	C₂×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
135	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	SD₁₆	—	2	16	no	—
160	D₈	—	2	16	no	—
161	M₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂×C₈	—	4	4	no	—
168	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
179	C₄²	—	2	4	no	—
180	C₄²	—	2	2	no	—
181	C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	2	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	16	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	4	4	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	—	4	1	no	—
193	C₂³	—	4	2	no	—
194	C₂³	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	8	8	no	—
196	C₂³	—	8	8	no	—
197	C₂³	—	8	4	no	—
198	C₂³	—	8	4	no	—
199	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂³	#120	1	2	yes	—
201	C₂³	#121	1	2	yes	—
202	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	Q₈	—	2	2	no	—
204	Q₈	—	2	2	no	—
205	Q₈	—	4	1	no	—
206	Q₈	—	4	1	no	—
207	D₄	—	2	2	no	—
208	D₄	—	2	4	no	—
209	D₄	—	2	2	no	—
210	D₄	—	2	4	no	—
211	D₄	—	2	4	no	—
212	D₄	—	2	16	no	—
213	D₄	—	4	8	no	—
214	D₄	—	4	1	no	—
215	D₄	—	4	1	no	—
216	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	—	8	16	no	—
230	C₂×C₄	—	8	4	no	—
231	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
236	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₈	—	2	4	no	—
245	C₈	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	2	4	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	8	no	—
251	C₂²	—	4	8	no	—
252	C₂²	—	4	8	no	—
253	C₂²	—	4	4	no	—
254	C₂²	—	4	4	no	—
255	C₂²	—	4	4	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	8	16	no	—
258	C₂²	—	8	2	no	—
259	C₂²	—	8	1	no	—
260	C₂²	—	8	1	no	—
261	C₂²	#386	1	4	yes	—
262	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#576	1	2	yes	—
266	C₂²	#577	1	2	yes	—
267	C₄	—	4	4	no	—
268	C₄	—	4	4	no	—
269	C₄	—	4	2	no	—
270	C₄	—	8	2	no	—
271	C₄	#386	1	4	yes	—
272	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
275	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
276	C₂	—	2	4	no	—
277	C₂	—	4	8	no	—
278	C₂	—	8	2	no	—
279	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#2946	1	2	yes	—
281	C₂	#3012	1	2	yes	—
282	C₂	#3041	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3042	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#518	C₂	semidirect
3. C₂×#416	C₂	semidirect
4. C₂²×#102	C₂	semidirect
5. #2311	C₂	semidirect
6. #1879	C₂	semidirect
7. #1877	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1729	C₂	semidirect
14. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
28. C₂×#103	C₂²	semidirect
31. C₂×#102	C₂²	semidirect
32. #391	C₂²	semidirect
33. #390	C₂²	semidirect
36. #340	C₂²	semidirect
37. #336	C₂²	semidirect
44. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
134. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#518	2
C₂×#416	2
C₂²×#102	2
#2311	2
#1879	2
#1877	2
#1736	2
#1729	2