Subgroups — #20932

Order 256.

963 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1879	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#520	—	2	4	no	—
20	#520	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#117	—	2	1	no	—
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#416	—	2	4	no	—
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#102	—	2	4	no	—
32	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#390	—	2	1	no	—
35	#390	—	2	1	no	—
36	#390	C₂²	1	4	yes	—
37	#379	—	2	2	no	—
38	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#336	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂⁵	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
63	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×D₈	—	2	4	no	—
67	C₂×D₈	—	2	4	no	—
68	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
79	C₄×D₄	—	2	16	no	—
80	C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	#117	—	2	8	no	—
83	#117	—	2	2	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	—	2	2	no	—
86	#117	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
104	#103	—	2	4	no	—
105	#102	—	2	4	no	—
106	#102	—	2	8	no	—
107	C₂⁴	—	2	1	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	4	no	—
110	C₂⁴	—	4	2	no	—
111	C₂⁴	—	4	2	no	—
112	C₂⁴	—	8	2	no	—
113	C₂⁴	—	8	2	no	—
114	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	#41	—	2	8	no	—
116	#41	—	2	8	no	—
117	#41	—	2	8	no	—
118	#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
119	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	1	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	—	2	1	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂×D₄	—	4	2	no	—
142	C₂×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	SD₁₆	—	2	16	no	—
168	D₈	—	2	16	no	—
169	M₁₆	—	2	8	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	4	4	no	—
176	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
190	C₄²	—	2	8	no	—
191	C₄²	—	2	2	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	4	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	4	2	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	—	4	2	no	—
203	C₂³	—	4	2	no	—
204	C₂³	—	4	4	no	—
205	C₂³	—	4	4	no	—
206	C₂³	—	4	8	no	—
207	C₂³	—	8	8	no	—
208	C₂³	—	8	4	no	—
209	C₂³	—	8	4	no	—
210	C₂³	—	8	8	no	—
211	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂³	#120	1	2	yes	—
213	C₂³	#121	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	Q₈	—	2	2	no	—
216	Q₈	—	2	2	no	—
217	Q₈	—	2	2	no	—
218	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	D₄	—	2	16	no	—
220	D₄	—	2	4	no	—
221	D₄	—	2	2	no	—
222	D₄	—	2	4	no	—
223	D₄	—	2	2	no	—
224	D₄	—	2	2	no	—
225	D₄	—	4	2	no	—
226	D₄	—	4	2	no	—
227	D₄	—	4	8	no	—
228	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	8	4	no	—
243	C₂×C₄	—	8	8	no	—
244	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₈	—	2	4	no	—
258	C₈	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	2	4	no	—
260	C₂²	—	2	2	no	—
261	C₂²	—	2	2	no	—
262	C₂²	—	2	4	no	—
263	C₂²	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	4	4	no	—
265	C₂²	—	4	2	no	—
266	C₂²	—	4	2	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	8	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	8	16	no	—
271	C₂²	—	8	2	no	—
272	C₂²	—	8	2	no	—
273	C₂²	—	8	4	no	—
274	C₂²	#386	1	4	yes	—
275	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	#576	1	2	yes	—
279	C₂²	#577	1	2	yes	—
280	C₄	—	2	4	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	4	no	—
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	—	8	2	no	—
285	C₄	#386	1	4	yes	—
286	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
289	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
290	C₂	—	2	4	no	—
291	C₂	—	4	4	no	—
292	C₂	—	8	4	no	—
293	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#2946	1	2	yes	—
295	C₂	#3008	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#3010	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#3045	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂×#416	C₂	semidirect
4. C₂²×#102	C₂	semidirect
5. #2309	C₂	semidirect
6. #1880	C₂	semidirect
7. #1879	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1729	C₂	semidirect
14. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
21. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×#103	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
38. #340	C₂²	semidirect
39. #336	C₂²	semidirect
55. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
118. #41	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#520	2
C₂×#416	2
C₂²×#102	2
#2309	2
#1880	2
#1879	2
#1736	2
#1729	2