Subgroups — #20942

Order 256.

889 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1883	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1882	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#575	—	2	4	no	—
13	#575	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#137	—	2	1	no	—
15	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#135	—	2	2	no	—
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#520	—	2	2	no	—
22	#520	C₂²	1	4	yes	—
23	#519	—	2	1	no	—
24	#518	—	2	1	no	—
25	#518	—	2	2	no	—
26	C₄×#41	—	2	2	no	—
27	C₄×#41	—	2	2	no	—
28	C₂×#117	—	2	2	no	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#104	—	2	4	no	—
33	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
34	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#417	—	2	2	no	—
37	#416	—	2	2	no	—
38	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#386	—	2	2	no	—
41	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
42	#343	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₂×#41	—	2	1	no	—
45	C₂×#41	—	2	1	no	—
46	C₂×#41	—	2	2	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	1	no	—
50	C₂×#41	—	2	1	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	1	no	—
53	C₂×#41	—	2	1	no	—
54	C₂×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#137	—	2	4	no	—
71	#137	—	2	8	no	—
72	#137	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
74	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
75	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	#135	—	2	16	no	—
77	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×D₈	—	2	2	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
87	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	4	no	—
95	C₄×D₄	—	2	4	no	—
96	C₄×D₄	—	2	8	no	—
97	#117	—	2	4	no	—
98	#117	—	2	4	no	—
99	#117	—	2	1	no	—
100	#117	—	2	1	no	—
101	#117	—	2	1	no	—
102	#117	—	2	1	no	—
103	#117	—	2	1	no	—
104	#117	—	2	1	no	—
105	#117	—	2	4	no	—
106	#117	D₄	1	2	yes	—
107	#117	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	#104	—	2	8	no	—
123	#103	—	2	4	no	—
124	#102	—	2	4	no	—
125	#95	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	1	no	—
127	C₂⁴	—	2	1	no	—
128	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	#41	—	2	4	no	—
130	#41	—	2	4	no	—
131	#41	—	2	4	no	—
132	#41	—	2	4	no	—
133	#41	—	2	4	no	—
134	#41	—	2	2	no	—
135	#41	—	2	2	no	—
136	#41	—	2	4	no	—
137	#41	—	2	4	no	—
138	#41	—	2	4	no	—
139	#41	—	2	4	no	—
140	#41	—	4	2	no	—
141	#41	—	4	2	no	—
142	#41	—	4	2	no	—
143	#41	—	4	2	no	—
144	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
145	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
155	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	1	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	1	no	—
165	C₂×D₄	—	2	1	no	—
166	C₂×D₄	—	2	1	no	—
167	C₂×D₄	—	2	1	no	—
168	C₂×D₄	—	2	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	1	no	—
170	C₂×D₄	—	4	1	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
173	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	Q₁₆	—	2	8	no	—
202	SD₁₆	—	2	8	no	—
203	SD₁₆	—	2	8	no	—
204	D₈	—	2	8	no	—
205	M₁₆	—	2	4	no	—
206	M₁₆	—	2	2	no	—
207	M₁₆	—	2	2	no	—
208	M₁₆	—	2	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₄²	—	2	8	no	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	—	4	1	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
243	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	#121	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	2	no	—
248	Q₈	—	2	4	no	—
249	Q₈	—	2	2	no	—
250	Q₈	—	2	2	no	—
251	Q₈	—	4	1	no	—
252	Q₈	—	4	1	no	—
253	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	D₄	—	2	4	no	—
255	D₄	—	2	4	no	—
256	D₄	—	2	8	no	—
257	D₄	—	2	2	no	—
258	D₄	—	2	2	no	—
259	D₄	—	2	2	no	—
260	D₄	—	2	4	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	D₄	—	4	1	no	—
264	D₄	—	4	1	no	—
265	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	#386	1	2	yes	—
318	C₂²	#386	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	#386	1	2	yes	—
328	C₄	#386	1	2	yes	—
329	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	—	2	2	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	4	4	no	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#3018	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#120
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#120
prime radical	C₂×#575	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3428	C₂	semidirect
3. C₂²×#104	C₂	semidirect
4. #2896	C₂	semidirect
5. #2297	C₂	semidirect
6. #1883	C₂	semidirect
7. #1882	C₂	semidirect
8. #1742	C₂	semidirect
9. C₂×#339	C₂	semidirect
13. #575	C₄	semidirect
34. #419	C₂²	semidirect
35. #418	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
42. #343	C₂²	semidirect
43. #339	C₂²	semidirect
56. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
72. #137	C₂×C₄	semidirect
75. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
144. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
154. C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
172. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
#3428	2
C₂²×#104	2
#2896	2
#2297	2
#1883	2
#1882	2
#1742	2
C₂×#339	2