Subgroups — #20945

Order 256.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1883	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
16	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#520	—	2	2	no	—
20	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#519	—	2	1	no	—
22	#518	—	2	1	no	—
23	#518	—	2	2	no	—
24	C₄×#41	—	2	2	no	—
25	C₄×#41	—	2	2	no	—
26	C₂×#117	—	2	2	no	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#421	—	2	4	no	—
31	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#418	—	2	2	no	—
33	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#102	—	2	2	no	—
35	#390	—	2	2	no	—
36	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#379	—	2	2	no	—
38	#343	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂⁵	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	1	no	—
42	C₂×#41	—	2	1	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
65	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
66	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
67	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
68	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×D₈	—	2	8	no	—
70	C₂×D₈	—	2	4	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
81	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₄×D₄	—	2	4	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	#117	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	4	no	—
89	#117	—	2	1	no	—
90	#117	—	2	1	no	—
91	#117	—	2	1	no	—
92	#117	—	2	1	no	—
93	#117	—	2	1	no	—
94	#117	—	2	1	no	—
95	#117	—	2	4	no	—
96	#117	—	2	2	no	—
97	#117	—	2	2	no	—
98	#117	D₄	1	2	yes	—
99	#117	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
113	#104	—	2	8	no	—
114	#102	—	2	8	no	—
115	C₂⁴	—	2	1	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	4	1	no	—
119	C₂⁴	—	4	1	no	—
120	C₂⁴	—	4	2	no	—
121	C₂⁴	—	8	4	no	—
122	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	#41	—	2	4	no	—
124	#41	—	2	4	no	—
125	#41	—	2	4	no	—
126	#41	—	2	4	no	—
127	#41	—	2	4	no	—
128	#41	—	2	2	no	—
129	#41	—	2	2	no	—
130	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
131	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
136	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	1	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	1	no	—
154	C₂×D₄	—	4	1	no	—
155	C₂×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	2	no	—
158	C₂×D₄	—	4	2	no	—
159	C₂×D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	SD₁₆	—	2	16	no	—
183	D₈	—	2	16	no	—
184	M₁₆	—	2	4	no	—
185	M₁₆	—	2	2	no	—
186	M₁₆	—	2	2	no	—
187	M₁₆	—	2	2	no	—
188	M₁₆	—	4	2	no	—
189	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
207	C₄²	—	2	8	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	8	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	4	2	no	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	8	2	no	—
224	C₂³	—	8	4	no	—
225	C₂³	—	8	4	no	—
226	C₂³	—	8	8	no	—
227	C₂³	—	8	8	no	—
228	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
229	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	#121	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	Q₈	—	2	2	no	—
234	Q₈	—	2	4	no	—
235	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	D₄	—	2	4	no	—
237	D₄	—	2	4	no	—
238	D₄	—	2	8	no	—
239	D₄	—	2	4	no	—
240	D₄	—	2	4	no	—
241	D₄	—	2	2	no	—
242	D₄	—	2	4	no	—
243	D₄	—	4	2	no	—
244	D₄	—	4	2	no	—
245	D₄	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	8	2	no	—
259	C₂×C₄	—	8	8	no	—
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
278	C₈	—	2	4	no	—
279	C₈	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	8	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	8	4	no	—
290	C₂²	—	8	4	no	—
291	C₂²	—	8	8	no	—
292	C₂²	—	8	8	no	—
293	C₂²	—	8	4	no	—
294	C₂²	#386	1	2	yes	—
295	C₂²	#386	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	4	4	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	8	2	no	—
303	C₄	#386	1	2	yes	—
304	C₄	#386	1	2	yes	—
305	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
309	C₂	—	2	1	no	—
310	C₂	—	2	1	no	—
311	C₂	—	2	2	no	—
312	C₂	—	2	2	no	—
313	C₂	—	4	4	no	—
314	C₂	—	8	4	no	—
315	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#3021	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#120
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3428	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂×#418	C₂	semidirect
5. #2309	C₂	semidirect
6. #1883	C₂	semidirect
7. #1742	C₂	semidirect
8. #1733	C₂	semidirect
13. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
20. #520	C₂²	semidirect
31. C₂×#104	C₂²	semidirect
33. #418	C₂²	semidirect
36. #390	C₂²	semidirect
38. #343	C₂²	semidirect
39. #339	C₂²	semidirect
59. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
66. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
130. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
135. C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
160. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
#3428	2
C₂×#421	2
C₂×#418	2
#2309	2
#1883	2
#1742	2
#1733	2