Subgroups — #20976

Order 256.

909 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1892	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#131	—	2	4	no	—
15	C₂×#131	—	2	4	no	—
16	C₂×#131	—	2	4	no	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#537	—	2	4	no	—
22	#537	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	—	2	1	no	—
26	C₂×#121	—	2	2	no	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#417	—	2	4	no	—
32	#416	—	2	4	no	—
33	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
39	#391	—	2	1	no	—
40	#390	—	2	1	no	—
41	#386	—	2	2	no	—
42	#380	C₂²	1	2	yes	—
43	#380	C₂²	1	2	yes	—
44	#340	C₂²	1	2	yes	—
45	#340	C₂²	1	2	yes	—
46	#340	C₂²	1	2	yes	—
47	#340	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	—	2	2	no	—
57	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#131	—	2	32	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
79	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
85	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#121	—	2	8	no	—
92	#121	—	2	16	no	—
93	#121	—	2	4	no	—
94	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
95	#117	—	2	2	no	—
96	#117	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
114	#103	—	2	2	no	—
115	#103	—	2	2	no	—
116	#103	—	2	4	no	—
117	#102	—	2	2	no	—
118	#102	—	2	2	no	—
119	#102	—	2	4	no	—
120	#95	—	2	2	no	—
121	#95	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	1	no	—
123	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	#41	—	2	8	no	—
126	#41	—	2	8	no	—
127	#41	—	2	8	no	—
128	#41	—	2	8	no	—
129	#41	—	2	8	no	—
130	#41	—	2	8	no	—
131	#41	—	4	4	no	—
132	#41	—	4	4	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	1	no	—
150	C₂×D₄	—	2	1	no	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	2	1	no	—
153	C₂×D₄	—	4	2	no	—
154	C₂×D₄	—	4	2	no	—
155	C₂×D₄	—	8	2	no	—
156	C₂×D₄	—	8	2	no	—
157	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
178	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	M₁₆	—	2	16	no	—
190	M₁₆	—	2	8	no	—
191	C₂×C₈	—	2	16	no	—
192	C₂×C₈	—	2	8	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
218	C₄²	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	2	1	no	—
220	C₂³	—	2	1	no	—
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	4	1	no	—
231	C₂³	—	4	1	no	—
232	C₂³	—	4	1	no	—
233	C₂³	—	4	1	no	—
234	C₂³	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	4	1	no	—
236	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂³	#121	1	2	yes	—
239	C₂³	#121	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	2	8	no	—
242	Q₈	—	2	2	no	—
243	Q₈	—	2	2	no	—
244	Q₈	—	4	1	no	—
245	Q₈	—	4	1	no	—
246	D₄	—	2	16	no	—
247	D₄	—	2	2	no	—
248	D₄	—	2	2	no	—
249	D₄	—	2	8	no	—
250	D₄	—	4	8	no	—
251	D₄	—	4	1	no	—
252	D₄	—	4	1	no	—
253	D₄	—	8	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	8	1	no	—
312	C₂²	—	8	1	no	—
313	C₂²	—	8	1	no	—
314	C₂²	—	8	1	no	—
315	C₂²	#386	1	4	yes	—
316	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	8	1	no	—
327	C₄	—	8	1	no	—
328	C₄	—	8	2	no	—
329	C₄	#386	1	4	yes	—
330	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
334	C₂	—	2	4	no	—
335	C₂	—	4	4	no	—
336	C₂	—	8	2	no	—
337	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#3060	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#3061	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#3062	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#3063	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#537	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#131	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#416	C₂	semidirect
5. #2311	C₂	semidirect
6. #1895	C₂	semidirect
7. #1894	C₂	semidirect
8. #1893	C₂	semidirect
9. #1892	C₂	semidirect
10. #1736	C₂	semidirect
11. C₂×#340	C₂	semidirect
22. #537	C₄	semidirect
78. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
84. C₂²×C₈	D₄	semidirect
90. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
94. #121	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#131	2
C₂×#537	2
C₂×#417	2
C₂×#416	2
#2311	2
#1895	2
#1894	2
#1893	2
#1892	2
#1736	2
C₂×#340	2