Subgroups — #20979

Order 256.

977 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 323 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1897	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1896	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	#525	—	2	1	no	—
12	#525	—	2	1	no	—
13	#525	—	2	2	no	—
14	#525	C₄	1	4	yes	complemented
15	#525	C₂²	1	2	yes	—
16	#525	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#123	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#121	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₂×#120	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
22	C₂×#117	—	2	1	no	—
23	C₂×#117	—	2	1	no	—
24	C₂×#117	—	2	8	no	—
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
30	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#421	—	2	8	no	—
32	C₂×#104	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#407	—	2	2	no	—
34	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
37	#339	C₂²	1	8	yes	complemented
38	C₂⁵	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#41	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	4	no	—
42	C₂×#41	—	2	4	no	—
43	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
44	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
68	#123	—	2	4	no	—
69	#123	—	2	2	no	—
70	#123	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	#121	—	2	2	no	—
76	#121	—	2	2	no	—
77	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#121	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	#120	—	2	4	no	—
80	#120	—	2	2	no	—
81	#120	—	2	2	no	—
82	C₄×D₄	—	2	4	no	—
83	C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₄×D₄	—	2	4	no	—
86	#117	—	2	8	no	—
87	#117	—	2	8	no	—
88	#117	—	2	4	no	—
89	#117	—	2	1	no	—
90	#117	—	2	1	no	—
91	#117	—	2	8	no	—
92	#117	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
93	#117	D₄	1	8	yes	complemented
94	#117	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
110	#104	—	2	16	no	—
111	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	1	no	—
116	C₂⁴	—	4	4	no	—
117	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	#41	—	2	8	no	—
123	#41	—	2	4	no	—
124	#41	—	2	4	no	—
125	#41	—	4	2	no	—
126	#41	—	4	4	no	—
127	#41	—	4	2	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂×D₄	—	4	2	no	—
139	C₂×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	M₁₆	—	2	4	no	—
184	M₁₆	—	2	4	no	—
185	M₁₆	—	4	4	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄²	—	2	8	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	2	no	—
206	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
207	C₂³	—	2	1	no	—
208	C₂³	—	2	1	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	1	no	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	4	2	no	—
221	C₂³	—	4	8	no	—
222	C₂³	—	4	8	no	—
223	C₂³	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂³	#120	1	2	yes	—
230	C₂³	#123	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	2	4	no	—
233	Q₈	—	4	2	no	—
234	D₄	—	2	4	no	—
235	D₄	—	4	8	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	—	4	2	no	—
238	D₄	—	4	4	no	—
239	D₄	—	4	8	no	—
240	D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₈	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	4	2	no	—
290	C₂²	—	4	2	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	4	8	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	#386	1	2	yes	—
299	C₂²	#386	1	2	yes	—
300	C₂²	#421	1	4	yes	complemented
301	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	4	4	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	#386	1	2	yes	—
310	C₄	#386	1	2	yes	—
311	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
313	C₂	—	2	1	no	—
314	C₂	—	2	1	no	—
315	C₂	—	2	4	no	—
316	C₂	—	2	2	no	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	4	2	no	—
319	C₂	—	8	2	no	—
320	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#421	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂×#407	C₂	semidirect
5. #1897	C₂	semidirect
6. #1896	C₂	semidirect
7. #1733	C₂	semidirect
14. #525	C₄	semidirect
18. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
19. C₂×#121	C₄	semidirect
27. C₂×#117	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
32. C₂×#104	C₂²	semidirect
34. #407	C₂²	semidirect
35. #407	C₂²	semidirect
37. #339	C₂²	semidirect
43. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
45. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
48. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
74. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
78. #121	C₂×C₄	semidirect
92. #117	C₂×C₄	semidirect
93. #117	D₄	semidirect
99. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
206. C₄²	C₂×D₄	semidirect
300. C₂²	#421	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂²×#117	2
C₂×#421	2
C₂×#407	2
#1897	2
#1896	2
#1733	2