Subgroups — #20980

Order 256.

915 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1897	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1896	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#537	C₄	1	4	yes	complemented
15	#536	—	2	1	no	—
16	#536	C₄	1	2	yes	complemented
17	#535	—	2	1	no	—
18	#535	C₄	1	2	yes	complemented
19	#534	—	2	2	no	—
20	#532	—	2	2	no	—
21	#525	—	2	2	no	—
22	#525	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×#41	—	2	4	no	—
24	C₄×#41	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#421	—	2	4	no	—
34	C₂×#104	—	2	4	no	—
35	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
38	#408	—	2	2	no	—
39	#408	—	2	2	no	—
40	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	1	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
57	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
61	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	#127	—	2	2	no	—
83	#124	—	2	2	no	—
84	#124	—	2	2	no	—
85	#123	—	2	4	no	—
86	#123	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	#121	—	2	4	no	—
90	#121	—	2	8	no	—
91	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	#120	—	2	4	no	—
93	#120	—	2	4	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₄×D₄	—	2	16	no	—
96	C₄×D₄	—	2	8	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	#117	—	2	2	no	—
99	#117	—	2	1	no	—
100	#117	—	2	1	no	—
101	#117	—	2	4	no	—
102	#117	—	2	4	no	—
103	#117	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
104	#117	D₄	1	4	yes	complemented
105	#117	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	complemented
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#104	—	2	4	no	—
123	#104	—	2	4	no	—
124	#104	—	2	8	no	—
125	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
126	C₂⁴	—	2	1	no	—
127	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	#41	—	2	4	no	—
130	#41	—	2	4	no	—
131	#41	—	2	4	no	—
132	#41	—	2	4	no	—
133	#41	—	2	4	no	—
134	#41	—	2	4	no	—
135	#41	—	2	4	no	—
136	#41	—	2	4	no	—
137	#41	—	2	4	no	—
138	#41	—	2	4	no	—
139	#41	—	2	2	no	—
140	#41	—	2	2	no	—
141	#41	—	2	2	no	—
142	#41	—	2	2	no	—
143	#41	—	4	2	no	—
144	#41	—	4	2	no	—
145	#41	—	4	2	no	—
146	#41	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	1	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	M₁₆	—	2	2	no	—
203	M₁₆	—	2	2	no	—
204	M₁₆	—	2	2	no	—
205	M₁₆	—	2	2	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	1	no	—
227	C₄²	—	2	1	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	8	2	no	—
240	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	#120	1	2	yes	—
244	C₂³	#123	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	Q₈	—	2	4	no	—
247	Q₈	—	2	4	no	—
248	Q₈	—	2	2	no	—
249	Q₈	—	2	2	no	—
250	Q₈	—	4	2	no	—
251	D₄	—	2	8	no	—
252	D₄	—	2	8	no	—
253	D₄	—	2	2	no	—
254	D₄	—	2	2	no	—
255	D₄	—	2	4	no	—
256	D₄	—	2	4	no	—
257	D₄	—	4	2	no	—
258	D₄	—	4	2	no	—
259	D₄	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	2	no	—
261	D₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	16	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	4	2	no	—
303	C₈	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	8	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	8	4	no	—
316	C₂²	#386	1	2	yes	—
317	C₂²	#386	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	#386	1	2	yes	—
328	C₄	#386	1	2	yes	—
329	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	—	2	2	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	4	4	no	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#2901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂²×#104	C₂	semidirect
5. #2879	C₂	semidirect
6. #1897	C₂	semidirect
7. #1896	C₂	semidirect
8. #1733	C₂	semidirect
9. C₂×#339	C₂	semidirect
14. #537	C₄	semidirect
16. #536	C₄	semidirect
18. #535	C₄	semidirect
30. C₂×#117	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
40. #407	C₂²	semidirect
41. #339	C₂²	semidirect
42. #339	C₂²	semidirect
43. #339	C₂²	semidirect
56. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
63. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
88. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
91. #121	C₂×C₄	semidirect
103. #117	C₂×C₄	semidirect
104. #117	D₄	semidirect
108. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
118. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3449	2
C₂×C₄×#41	2
C₂×#421	2
C₂²×#104	2
#2879	2
#1897	2
#1896	2
#1733	2
C₂×#339	2